积分题（$f(x)=\int_1^x\frac{\sin(xt)}tdt$）

已知$f\left ( x \right ) = \int_{1}^{x} \frac{\sin\left ( x t \right )}{t} \mathrm{d} t$，求$\int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x$.

是否有 $\displaystyle f'(x)=\frac{\sin (x^2)}x ?$

错了，没那么简单

关键就是这个导数了，由于比较长且比较难打，就不在这里输入了，在真 $\LaTeX$ 里写了如附件所示，希望没错。

3# kuing


首先，\[A=\int_{0}^{1}{xf(x)dx}=\frac{1}{2}x^{2}f(x)|_{0}^{1}-\int_{0}^{1}{\frac{1}{2}x^{2}f'(x)dx}\]
\[ f'(x)=\int_{1}^{x}{\cos{xt}dt}+\frac{\sin{x^{2}}}{x}= \frac{2\sin{x^{2}}}{x}-\frac{\sin{x}}{x}\]
\[A=\frac{1}{2}(\cos{1}-1)+\frac{1}{2}\int_{0}^{1}{x\sin{x}dx}=\frac{\sin{1}-1}{2}\]

5# pxchg1200

第二行最后少了一个右花括号，修改下我来看看是咋样的

3# kuing


首先，\[A=\int_{0}^{1}{xf(x)dx}=\frac{1}{2}x^{2}f(x)|_{0}^{1}-\int_{0}^{1}{\frac{1}{2}x^{2}f'(x)dx}\]
\[ f'(x)=\int_{1}^{x}{\cos{xt}dt}+\frac{\sin{x^{2}}}{x}= \frac{2\sin{x^{2}}}{x}-\frac{\sin{x}}{x}\]
\[A=\frac{1}{2}(\cos{1}-1)+\frac{1}{2}\int_{0}^{1}{x\sin{x}dx}=\frac{\sin{1}-1}{2}\]
pxchg1200 发表于 2011-11-7 23:00

关键还是那个导数怎么来了
你是根据什么公式得出中间的式子？
我不太了解所以我用定义式去推算。。。

刚才自己试着推导了一下，楼上上上帮忙看看是否正确，详细证明见附件

设二元函数 $g(x,t)$ 在 $[a,b]^2$ 上有定义，且对 $t$ 连续，对 $x$ 可导，令
\[
f(x)=\int_{a}^{x}{g(x,t)\mathrm{d}t},x\in[a,b]
\]
则
\[
f'(x)=g(x,x)+\int_{a}^{x}{\frac{\partial g(x,t)}{\partial x}\mathrm{d}t}.
\]

8# kuing


是这么说的： 设$f(x,y),f_{x}(x,y)$在$
R=[a,b]\times[a,b]$上连续，$c(x),d(x)$为定义在$[a,b]$上其值含于$[p,q]$内的可微函数，则函数\\
\[ F(x)=\int_{c(x)}^{d(x)}{f(x,y)dy}\]
在$[a,b]$上可微，且\\
\[
F'(x)=\int_{c(x)}^{d(x)}{f_{x}(x,y)dy}+f(x,d(x))d'(x)-f(x,c(x))c'(x)
\]
你那个证明没多大问题，其实只要用复合函数求导就可以了。
把$F(x)$看作复合函数，
\[ F(x)=H(x,c,d)=\int_{c}^{d}{f(x,y)dy}\]
\[ c=c(x),d=d(x)\]
\[ \dfrac{dF}{dx}=\frac{\partial H}{\partial x}+\frac{\partial H}{\partial
c}\frac{dc}{dx}+\frac{\partial H}{\partial
d}\frac{dd}{dx}=\int_{c(x)}^{d(x)}{f_{x}(x,y)dy}+f(x,d(x))d'(x)-f(x,c(x))c'(x)
\]

9# pxchg1200

噢，还要连续可导……

10# kuing


当然，这个条件是很强的，适当减弱是可以的，你可以去看看阿尔泽拉的理论，这方面减弱了不少。。 如果那个积分限还是无穷的话，还要考虑$f_{x}(x,y)$一致收敛的问题。。。。

我还是水手。。这方面

楼上两位弄得复杂了，这会让工科学生受不了。也许题目的正解会采用如下如下方法求$f'(x)$:
令$xt=u$,则
$f(x) =\int_{1}^{x} \frac{\sin (xt)}{t} dt=\int_{x}^{x^2} \frac{\sin u}{u} du$，
于是  $f ‘(x) =\frac{\sin (x^2)}{x^2} *2x-\frac{\sin x}{x}=\frac{2\sin (x^2)}{x} -\frac{\sin x}{x}$.

13# 鱼儿

唔，有道理哩