[几何] 刚才352问的一道平几，两定边，第三边作正三角形

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2013-3-20 18:53

12. 以 $\triangle ABC$ 的边 $BC$ 为边作正三角形 $\triangle BCP$，若 $AB=5$, $AC=2$，则 $AP$ 长度的范围为____。

当时在Q上讲解的时候稍乱（咳，Q上讲，始终不如在论坛上讲那样冷静，所以总是打错东西，连题目都搞错了点，还好影响不大），以下略整理于此。

我们让 $AB$ 固定，那么 $C$ 将在一个圆上动，由对称性，我们只需考虑 $C$ 在直线 $AB$ 的同一侧，再作出两个方向的 $P$（因为原题并没有说要向哪边作，所以两边都要考虑，这在Q上聊的时候我就搞错了），比如说如下图这样。

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2013-3-20 19:45

注意到 $P$ 是 $C$ 绕 $B$ 旋转 $60\du$ 得到的，而 $B$ 是定点，于是 $P$ 的轨迹也就是 $C$ 的轨迹绕 $B$ 旋转 $60\du$ 所得，分两个方向，画出如下。

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2013-3-20 19:45

这样，$AP$ 的长度范围就能看出来了。当然，也可以将 $A$ 也旋转过去，像这样

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2013-3-20 19:45

于是结果就更显然了。下略。


当时，352 还给出了如下代数法的思路

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2013-3-20 19:14

如何进行下去？我也不清楚，或者有没有别的简单的代数方法？

1# kuing

最大值能用托勒密吗？

更新了一下，刚才才发现原来题目并没有说向外作正三角形，所以要考虑两个方向的旋转。

能否考虑让$B$、$C$在$x$轴上，且关于原点对称，则$P$在y轴（负半轴）上，以$B$、$C$为圆心分别作圆，半径是5和2，两圆的交点就是$A$，
观察出最小为3，最大为7.

4# 第一章

可以考虑！

k用了阿氏圆，难道这就是背景？

6# 第一章

跟阿氏圆没关系啊，直接就是 AC 是定值……

晕，以为$CA$跟$CB$是定长了。
做晕头了，都。

淡定……

and，继续期待好的代数方法

1# kuing

最大值能用托勒密吗？
abababa 发表于 2013-3-20 19:42

不清楚，你试试看？

1# kuing

最大值能用托勒密吗？
abababa 发表于 2013-3-20 19:42

能用！
$AP\cdot BC\leqslant5PC+2PB$，故$AP\leqslant5+2=7$，
当且仅当$A,B,P,C$四点共圆时，$AP$取得最大值$7$。

若真是3和7，那刚好是5和2的和、差。
巧合？

12# 第一章
刚刚上来，发完一看，居然有kuing和第一章和我几乎同时发！

晕死，我敢肯定最小值也是四点共圆。托勒密定理已经有十年没用过了。

若真是3和7，那刚好是5和2的和、差。
巧合？
第一章 发表于 2013-3-20 20:54

由1#最后的图也可以看出，必定是和与差……

表示没细看你1#的图，一直沿着自己的思路，，，

15# kuing
那几个图多了，看的眼花缭乱，就没仔细看下去了，估计和第一章感觉一样的

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2013-3-20 21:09

最大最小的情形

60\du 和 120\du 夹角

发一位网友的解答
$B=(5,\theta_1),C=(2,\theta_2),T=\begin{pmatrix}1/2 & -\sqrt{3}/2\\\sqrt{3}/2 & 1/2\end{pmatrix}$
得$AP^2=(B-C) \cdot T=29-20\cos(\theta_1-\theta_2)$，得最值为$49,9$
他没开方，开方就是那个7和3了吧，正好是同向和反向