条件$xy+yz+zx=1$且$x\ge y\ge z \ge0$下,记$f(x,y,z)=\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}$.
那么可以证明$f(x,y,z)\ge f(x,y,0)$,当且仅当$z=0$取等号.
证明:\[f(x,y,z)\ge f(x,y,0)\iff   \frac{1}{x+y}+\frac{x+y+2z}{1+z^2}\ge \frac{1}{x+y}+x+y\]
\[\iff x+y+2z\ge (1+z^2)(x+y)\iff 2z\ge z^2(x+y)\],
而$2>1\ge z(x+y)$,显然成立,完.
-------还是需要考虑$z≠0$情况.--好吧,就这样了,虽然还是有疑惑的地方.

21# realnumber
这个就有点像调整法或者叫磨光变换的意味了，

条件$xy+yz+zx=1$且$x\ge y\ge z \ge0$下,记$f(x,y,z)=\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}$.
那么可以证明$f(x,y,z)\ge f(x,y,0)$,当且仅当$z=0$取等号.
证明:\[f(x,y,z)\ge f(x,y,0)\iff   \frac{1}{x+y} ...
realnumber 发表于 2013-2-23 11:07

有两点疑惑，谁解释一下呢，
      疑惑$1$：的确，$z=0$时，根据条件可得$xy=1$，于是$f(x,y,0)=\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{1}{x+y}+x+y$，
    但是$f(x,y,z)\geqslant f(x,y,0)$的意思是否是保证了不等式$f(x,y,z)\geqslant f(x,y,0)$两边的$x，y$的取值一样了呢？
但是显然，不等式$f(x,y,z)\geqslant f(x,y,0)$右边的$x、y$是有限制条件的，其限制条件是$xy=1$（因为$z=0$）
而不等式$f(x,y,z)\geqslant f(x,y,0)$左边的$x、y$的限制条件却是原汁原味的$xy+yz+zx=1$！
换句话说，不等式$f(x,y,z)\geqslant f(x,y,0)$两边的$x，y$似乎不一样！对不对？
     疑惑$2$：如果是保持不等式两边$x，y$的值不变，不等式$f(x,y,z)\geqslant f(x,y,0)$的右边，我们根据分母变小，分数值应该变大的原理，
似乎$f(x,y,z)=\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}$的后两个加数的分母应该变小后导致$f(x,y,z)$的值变大？即应该是$f(x,y,0)\geqslant f(x,y,z)$呢？这样不就导致矛盾了么？该如何理解呢？

23# yes94
,疑惑1,两边x,y一样;又难点在$z≠0$.具体看火狐老师证明.

24# realnumber
唉！
不说了吧，