[不等式] 自以为简洁的证明呢,但也有说错证

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2012-11-21 14:57

有老师说有问题,似乎集中在x+y能否固定,以及z=0可不可以

前半部分（直到“都是 z 的增函数”）都没问题，固定 $x+y$ 是可以的，后面不好说……

baoshisun4  15:44:11
x=y=z=sqtr3/3,x+y<2,
x=2,y=1/2,z=0,x+y>2.
确实有点问题。
Real  15:49:11
满足x+y=2sqtr3/3,又xy+xz+yz=1,得不到,z=0

要么就这样：
我们得到了当 $x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0$ 且 $xy+yz+zx=1$ 并固定 $x+y$ 时原不等式左边总是关于 $z$ 递增，而约束条件可以看成 $xy+z(x+y)=1$，因此也可以说是关于 $xy$ 递减，于是要原不等式左边变小，只要将 $x$, $y$“拉近”，而在“拉近”的同时 $z$ 变小，所以当 $x+y$ 固定时，原不等式左边取最小值要么 $x=y$，要么 $z=0$，也就是只要证明这两种情况下原不等式成立即可。

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5# hnsredfox_007
welcome
嗯，相当于将 4# 的想法表达了出来，本质一样。
x+y 的固定值决定了 z 能不能取0，而不能取 0 时便是 x=y 时取最小，此时 z 就是那个 1/k-k/4

额，都在搞什么啊，平方然后上Iran 96啊。。。

7# pxchg1200

言下之意是不是有了简单方法就不应该再讨论别的方法了?

7# pxchg1200
Iran 96不知道,一个教高三的同事问的问题,似乎在高考模拟卷上.

9# realnumber
$x+y$都固定了，你还“$z=0$时，$x+y\geqslant2\sqrt{xy}=2$”
万一你固定的$x+y=1$，怎办？
万一你固定的$x+y=3$，怎办？
此时$x+y=3$会造成你的“$f(0)=\dfrac1{x+y}+x+y\geqslant\dfrac52$”就无法取等号，造成不等式也无法取等号。
据说，有时候要慎用不妨设$x\geqslant y\geqslant z$，
还有最好也要慎用固定某些字母（据说此方法常常要搞调整法的本质）。

5# hnsredfox_007
做的的确很妙！只是红狐老师是“空谈误guo，实干兴bang”的那种，从不多言多语，哪怕是一个字！
不来则罢，一来就是做题的那种，
kuing的评述也很强大！

11# yes94

2楼k的评论和你前面的矛盾.

12# realnumber
矛盾在哪呢？
再看一遍都没看出呢

10# yes94
其实我没明白你10楼的说法.

14# realnumber
    那估计你没看懂红狐的证明，他分两种情况讨论（分$k\geqslant2$和$k<2$讨论），可是他搞了一个大括号，很容易使人看不懂，建议他分开写吧。
    还有他一上来就“$z\geqslant\cdots\dfrac1{x+y}-\dfrac{x+y}4$”，建议他把这个“$z\geqslant\cdots\dfrac1{x+y}-\dfrac{x+y}4=\dfrac1{k}-\dfrac{k}4$”写在后面（即写在第二种情况$k<2$后面），免得混淆。
   还有，$2$楼kuing这样说的：“前半部分（直到“都是$z$的增函数”）都没问题，固定$x+y$是可以的，后面不好说……”
   而$10$楼的叙述正好就是从kuing叙述的这个地方开始的呀？
那我把把10楼再解释一遍吧：
   如果你预先固定的$x+y=1$时（有没有此种可能？），$x+y\geqslant2\sqrt{xy}=2$就不成立，所以需要讨论$x+y\geqslant2$和$x+y\le2$，红狐做到了。
   如果你预先固定的$x+y=3$时（有没有此种可能？），那么你写的不等式$\dfrac1{x+y}+x+y\geqslant\dfrac52$”就无法取等号（只有$x+y=2$才取等号），
   我的意思就是这样的，不知对不对？

15# yes94


你对比下3楼,是不是和你一样.
ps,有时觉得1楼说不定还是可以,虽然取不到2.5,但是比2.5大,就不影响最小值2.5.也就是说扩大范围情况下的最小值都是2.5,那么在原范围情况下就不会小于2.5.


在条件"满足x+y=2sqtr3/3,又xy+xz+yz=1,得不到,z=0 "下能不能添加z=0?

16# realnumber


kk出马?我有些犯迷糊了,最近状态实在欠佳.....

我今天也没什么状态……刚刚才在群里说我今天一道题都没做……好颓废的一天……
哎，看到上面一堆的，就看不下去了……

18# kuing


碰到长的,别人的,与自己理解有出入的,加上状态不够好,基本当机,..
高中就意识到的老毛病,非得自己慢慢领会,或实在避不过去....

16# realnumber
答案对的,也仅仅是凑巧答案对而已.我还是继续想,能不能改成更严密的表达办法,如果也可以的话.