看到粉丝群里一道向量与三角形的心的题，想起一系列……

已知 $\triangle ABC$ 中，$\abs{BC}=a$, $\abs{CA}=b$, $\abs{AB}=c$，$O$ 为任一定点。

（1）若点 $P$ 满足
\[\vv{OP}=\vv{OA}+\lambda\left(\frac{\vv{AB}}c+\frac{\vv{AC}}b\right),\]
其中 $\lambda\in\mbb R$，则 $P$ 的轨迹一定通过 $\triangle ABC$ 的（　）心；

（2）若点 $P$ 满足
\[\vv{OP}=\vv{OA}+\lambda\left(\frac{\vv{AB}}{c\sin B}+\frac{\vv{AC}}{b\sin C}\right),\]
其中 $\lambda\in\mbb R$，则 $P$ 的轨迹一定通过 $\triangle ABC$ 的（　）心；

（3）若点 $P$ 满足
\[\vv{OP}=\vv{OA}+\lambda\left(\frac{\vv{AB}}{c\cos B}+\frac{\vv{AC}}{b\cos C}\right),\]
其中 $\lambda\in\mbb R$，则 $P$ 的轨迹一定通过 $\triangle ABC$ 的（　）心；

（4）若点 $P$ 满足
\[\vv{OP}=\vv{OA}+\lambda\left(\frac{\vv{AB}}{c\cos C}+\frac{\vv{AC}}{b\cos B}\right),\]
其中 $\lambda\in\mbb R$，则 $P$ 的轨迹一定通过 $\triangle ABC$ 的（　）心；



暂时想起这四个，还有没有类似？这当作是收集贴吧 :D

今天群里提到的是第（4）个，也正好是这个我还没找到简洁的方法。

四个的难度可以说由简单到难。

第（1）个显然轨迹是角平分线所在直线就不用说了吧，所以过内心；

第（2）个，由 $c\sin B=b\sin C=2S/a$，得 $\vv{OP}=\vv{OA}+\mu\bigl(\vv{AB}+\vv{AC}\bigr)$，可见 $P$ 的轨迹是中线所在直线，所以过重心；

第（3）个，由
\[\left(\frac{\vv{AB}}{c\cos B}+\frac{\vv{AC}}{b\cos C}\right)\cdot\vv{BC}
=-\frac{\vv{BA}\times\vv{BC}}{c\cos B}+\frac{\vv{CA}\times\vv{CB}}{b\cos C}
=-a+a=0,
\]可见 $P$ 的轨迹是高线所在直线，所以过垂心；

第（4）个，令 $\lambda=bc\cos B\cos C\mu$, $\mu\in\mbb R$, $\vv m = \vv{AB}b\cos B+\vv{AC}c\cos C$，则已知等式化为
\[\vv{OP}=\vv{OA}+\mu\vv m,\]
关键在于 $\vv m$，我们来考查下它的模长，有
\begin{align*}
\abs m &=\sqrt{\bigl(\vv{AB}b\cos B+\vv{AC}c\cos C\bigr)^2} \\
& =\sqrt{c^2b^2\cos^2B+b^2c^2\cos^2C+2b^2c^2\cos A\cos B\cos C} \\
& =bc\sqrt{1-\cos^2A} \\
& =bc\sin A,
\end{align*}
再考查它与两边的夹角，有
\begin{align*}
\cos \bigl\langle \vv m,\vv{AB} \bigr\rangle &=\frac{\bigl(\vv{AB}b\cos B+\vv{AC}c\cos C\bigr)\cdot \vv{AB}}{bc\sin A\cdot c} \\
& =\frac{c^2b\cos B+bc^2\cos A\cos C}{bc^2\sin A} \\
& =\frac{\cos B+\cos A\cos C}{\sin A} \\
& =\sin C,
\end{align*}
同理有 $\cos \bigl\langle \vv m,\vv{AC} \bigr\rangle =\sin B$，由此可见 $P$ 的轨迹是过点 $A$ 和外心的直线。
如果最后一行看不懂，请对着这个图再想想，注意一些角度的相等。

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2012-10-5 20:20

继续，来个你们可能不认识的心。

（5）若点 $P$ 满足
\[\vv{OP}=\vv{OA}+\lambda\left(\frac{\vv{AB}}{c\sin C}+\frac{\vv{AC}}{b\sin B}\right),\]
其中 $\lambda\in\mbb R$，则 $P$ 的轨迹一定通过 $\triangle ABC$ 的（　　　）心。

由于
\[\left|\frac{\vv{AB}}{c\sin C}+\frac{\vv{AC}}{b\sin B}\right|=\left|\frac{\vv{AB}}{c\sin B}+\frac{\vv{AC}}{b\sin C}\right|,\]
且
\[\frac{\vv{AB}}{c\sin C}+\frac{\vv{AC}}{b\sin B} + \frac{\vv{AB}}{c\sin B}+\frac{\vv{AC}}{b\sin C} = \left(\frac1{\sin B}+\frac1{\sin C}\right)\left(\frac{\vv{AB}}c+\frac{\vv{AC}}b\right),\]
结合（1）（2）的证明，可知 $\frac{\vv{AB}}{c\sin C}+\frac{\vv{AC}}{b\sin B}$ 与 $\frac{\vv{AB}}{c\sin B}+\frac{\vv{AC}}{b\sin C}$ 这两个向量关于 $A$ 的内角平分线对称，因此 $P$ 的轨迹是与中线所在直线关于内角平分线对称的直线，也就是类似中线，所以必过 $\triangle ABC$ 的类似重心。

关于类似中线及类似重心的定义可参考：
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%B1%BB%E4%BC%BC%E9%87%8D%E5%BF%83

咦？这样看来，其实（4）也可以仿楼上那样，证明那个向量与（3）的关于内角平分线对称。
这样的话，要证（4）就只需证明：过外心和 $A$ 的直线与过 $A$ 的高线关于 $A$ 的内角平分线对称。
这根据角度应该不难证，不过可能还是要分一下钝角和锐角……

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2012-10-5 21:47

再来自创两个。

（6）若点 $P$ 满足
\[\vv{OP}=\vv{OA}+\lambda\left(\frac{\vv{AB}}{a+b-c}+\frac{\vv{AC}}{a+c-b}\right),\]
其中 $\lambda\in\mbb R$，则 $P$ 的轨迹一定通过 $\triangle ABC$ 的（　）心；

（7）若点 $P$ 满足
\[\vv{OP}=\vv{OA}+\lambda\left(\frac{\vv{AB}}{a+c-b}+\frac{\vv{AC}}{a+b-c}\right),\]
其中 $\lambda\in\mbb R$，则 $P$ 的轨迹一定通过 $\triangle ABC$ 的（　）心。


参考答案：（6）界心；（7）切心。

PS、还是介绍一下相关定义。
三角形的分周线：若一条直线将三角形的周长平分，称此直线为该三角形的一条分周线。
界心：过三角形三个顶点的三条分周线交于一点，称这点为界心。（也有称为“Nagel 点”的）
切心：三角形内切圆与三边的三个切点与其对应顶点的连线交于一点，称这点为切心。（也有称为“Gergonne 点”的）

第四个有没有更好的方法啊

6# 依然饭特稀

看 3#、4#。
不要急着回贴，看完先。
2#是我原先的证法，直到我在3#创了（5）并利用（2）证出之后，发现（3）和（4）其实也有这样的关系，这已经在4#作了说明，所以（4）的证明已经变得简单，只是我就没详写，只是画了两个图，已经很显然。

洗个澡先，回来再看看有哪些心能构造类似的题出来

第一个是2003年的高考题呀。。

(4)也可以这样验证,首先求出λ1,使得P在AB的垂直平分线上;再求出λ2,使得P在AC的垂直平分线上
计算结果发现λ1=λ2,由此可见此时P为外心.
$(\vv{AP}-0.5\vv{AB})·0.5\vv{AB}=0$,解得$λ=\frac{RcosBcosC}{sinA}$
再次计算$(\vv{AP}-0.5\vv{AC})·0.5\vv{AC}=0$,还是有$λ=\frac{RcosBcosC}{sinA}$
如此,说明$λ=\frac{RcosBcosC}{sinA}$时,点P为外心,完.

10# realnumber

嗯，这个方法也挺好

第(4)题 外心的那个题

12# 转化与化归

要不要分圆心在三角形内和外讨论下？

呃，要讨论一下，方法是一样的，我就偷懒不写了！

嗯，这个方法很好

http://kkkkuingggg.5d6d.net/thread-220-1-14.html
还有这个,原贴有图图的解答.
已知：P为三角形ABC所在平面上一点，满足$a\overrightarrow{PA}+b\overrightarrow{PB}+c\overrightarrow{PC}=\vec{0}$,其中$a=│BC│,b=│AC│，c=│AB│$
则P是三角形的____心.
1楼解题群有人在问,就顺便顶了下.

mark!

9# Tesla35
是高考题，几个心都是用向量做的，真闹心……