研究与总结 两内角平分相等的三角形是等腰三角形 时附带着把这题也解决了

战巡说反证容易，不过，我没看到过完整的过程。

稍后给证法……

21# isea

战巡的好像也是一开始设了大小顺序的，有空找找在哪

22# kuing

证法来了，从这证法看，还是有意思的题。

晕，忘记不能传附件，又懒得再敲一次代码，给个PEP的链接图片吧

能传附件啊，谁说不能传？

(2.98 KB)

2012-12-3 17:45

这里的 y 有范围，恒成立不一定要 $\Delta\le0$ 吧？

战巡说反证容易，不过，我没看到过完整的过程。
isea 发表于 2012-12-3 10:27

找到了记录，如下：

(55.47 KB)

2012-12-3 18:16

爱好者-战巡(3705*****) 21:54:34
这里AD=BE=CF，不妨设∠A>=∠C>=∠B，则肯定有∠A>=60，∠B<=60，于是作∠EB'D=∠FA'D=60，显然B'在BD上(包括B点)，A'在DA延长线上(包括A点)
然后∠B'DE+∠FDA'=120,∠B'ED+∠B'DE=120，可知∠B'ED=∠FDA'，可证△B'ED≌△A'FD，有B'E=DA'>=AD=BE，问题是∠BB'E=120，△BB'E中BE是钝角所对边，肯定最大，有BE>=B'E，合起来就是BE=B'E，B与B'重合

正是用了还有争议的不妨设。

25# kuing


的确有瑕疵，需要讨论对称轴，如果看成函数的话；如果直接配方 $（y-acosC)^2+a^2cos^2B-a^2cos^2C\ge0$，也不自然……
如果讨论角的大小，也会用到A、B、C三角的排序

PS：DZ7.0.0原来传附件在下面，晕迷

找到了记录，如下：

正是用了还有争议的不妨设。
kuing 发表于 2012-12-3 18:14

这个排序，我是能承认的，在“两内角平分线相等的三角是等腰三角形”中（这里是轮换，可能略有差异），罗增儒老师就是这样讨论的。

战巡这方法还是简洁的，至少目前我觉得算是最完善的，其本质是作两圆（与已知正三角形的外接圆全等），讨论点的位置，从而得到矛盾

难道碰到什么min感词？

最近又看到这个题。。
战巡方法如果∠A>=∠B>=∠C貌似就不能用了，怎么破？

最近又看到这个题。。
战巡方法如果∠A>=∠B>=∠C貌似就不能用了，怎么破？
海盗船长 发表于 2013-2-6 21:57

证如我前面所讲，假如换另一种次序发现不能同样地证，那就是不能那样不妨设。
几何上的不妨设，不如不等式中的不妨设那样容易看，但是通过代数化也许也看得更清。
下面把之前说的

kuing  17:50:42
本来想了一个三角法, 后来发现有一种情况有问题，没修正成功, 没什么心情就没理了。
kuing 发表于 2012-8-22 03:12

具体写一写。

(22.82 KB)

2013-2-6 22:45

如图所示，我们有 $x$, $y$, $z\in (0,120^\circ)$，由正弦定理有
\[\frac{\sin x}{\sin A}=\frac{\sin y}{\sin B}=\frac{\sin z}{\sin C}=\frac ab,\]
又易知 $A=z-x+60^\circ$, $B=x-y+60^\circ$, $C=y-z+60^\circ$，代入即
\[\frac{\sin x}{\sin(z-x+60^\circ )}=\frac{\sin y}{\sin(x-y+60^\circ )}=\frac{\sin z}{\sin(y-z+60^\circ )}=\frac ab,\]
要证的就是 $x=y=z$。
可以发现，最后这个方程组对 $x$, $y$, $z$ 并不是完全对称的，这算不算是从另一个角度说明图形只是轮换对称而非完全对称？

最后这个方程组我现在还没完全解决。

原 29# 又  不  见  了……到底遇到了什么min gan词啊

易证⊿BDF≌⊿CF'D'，则B=C,同理A=C,故A=B=C

33# goft

如何“易证”？我没看出来……可否详写

34# kuing
易证是他的特色，
他讲题时喜欢给别人思路，不太喜欢给过程，尤其是详细过程。

(98.28 KB)

2013-2-15 19:58

看看这个证明

还要说明点DEF都在线段上，不然不对

(18.31 KB)

2013-2-15 20:03

37# 海盗船长
欢迎海盗回归！