三个无穷级数的敛散性判别

\[\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{n}\cos \left( {\frac{\pi }{2}\ln n} \right)} \]

\[\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{{{n^{2 - \sin n}}}}} \]

\[\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{{{n^a}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
  {a + n - 1} \\
  n
\end{array}} \right)} \]

第二题求解。

2# 海盗船长


我也做不来。。。

今天有人上贴吧问了，收获在此： serie20cosntheta_1281833634.pdf (120.33 KB)

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2011-12-10 19:15

是我问的

第二的话，收敛是肯定的，n取整数的时候sin(n)是取不到1的，肯定小于1

6# 战巡


那篇文章说第二个是发散的。。

7# 海盗船长

虽然是小于1，但可以趋向1
是不是这个原因

8# kuing


应该是的

(3)\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} {{n+p-1}\choose{n}} \qquad (p > 0)\]   
$\displaystyle \frac{a_{n}}{a_{n+1}}=\left( \frac{n+1}{n} \right)^p \frac{n+1}{n+p}$

$\displaystyle \frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1-\frac{1}{n}=\frac{\left( 1+\frac{1}{n} \right)^{p+1}-\left(1+\frac{p}{n}\right)}{1+ \frac{p}{n}}-\frac{1}{n}$

$\displaystyle =\frac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{p}{n}}\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^p-\left(1+ \frac{p}{n}\right)\right)$

$\displaystyle =\frac{p(p-1)}{2n^2}+o\left( \frac{1}{n^2} \right)$

由Gauss判别法知该级数发散！

(1)\[ \sum_{n = 1}^{\infty}  {\frac{1}{n} \cos {\left( {\frac{\pi }{2}\ln n} \right)}} \]
取$\displaystyle N_1=\left[ \exp{\left( 2\left( 2k-\frac{1}{3} \right) \right)} \right ]$  $\displaystyle N_2=\left[ \exp{\left( 2\left( 2k+\frac{1}{3} \right) \right)} \right ]$ $(k \in \mathrm{Z^{+}})$，

则当$n \in \{N_1+1,N_1+2, \cdots ,N_2\}$时，有$\displaystyle \cos{\left( \frac{\pi}{2} \ln{n} \right)}>\frac{1}{2}$

故
$\displaystyle \left| \sum_{n=N_1+1}^{N_2}{\frac{1}{n} \cos {\left( {\frac{\pi }{2}\ln n} \right)}}  \right| > \frac{ \exp {\left(\frac{4}{3}\right)} - 1} {2 \exp{ \left(\frac{4}{3}\right)}} $

由柯西收敛准则知该级数发散