[数列] 2013年海淀二模理科第8题 数列相关 （附全卷及源文件）

录试卷呢（源与打印文档均见附件，已校对，改了几个错别字，其他没问题），还没认真看，给大家看看


若数列$\{a_n\}$满足：存在正整数$T$，对任意正整数$n$ 都有$a_{n+T}=a_n$成立，则称数列$\{a_n\}$为周期数列，周期为$T$．已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=m(m>0), a_{n+1}=\left\{\begin{aligned}
  &a_n-1,&a_n>1,\\&\dfrac 1{a_n},&0<a_n\le 1.\end{aligned}\right.$

  则下列结论中错误的是

A. 若$a_3=4$，则$m$可以取3个不同的值
B. 若$m=\sqrt 2$，则数列$\{a_n\}$是周期为3 的数列

C. $\forall T\in \mathbb{N}^*\text{且}T\ge 2,\exists m>1$，使得$\{a_n\}$是周期为$T$ 的数列

D. $\exists m \in \mathbb{Q}\text{且}m\ge 2$，使得数列$\{a_n\}$是周期数列


第8题，原图。

(140.53 KB)

2013-5-7 15:38

选项按排有些不合理，胆子大点，B就是C的一个例子，从而直接选D，而正确结果亦是D

但是对C，还未严格证明
再说

对于C，今晚晚一点我来给出证明...先忙去了...

(23.21 KB)

2013-5-7 20:15

4# 地狱的死灵
我也是这样想的~

你们都太牛了！

谢谢解答啊，学习学习，先

4# 地狱的死灵
推理能力强

1483
地狱的死灵 发表于 2013-5-7 20:15

妙啊，又细细体会一把，标上楼主大名 地狱的死灵 转走了啊

$T^2-2T+5$ 不是完全平方数 正好亦说明D了

＝＝＝

LaTeX 代码(论坛)：

8.(2013海淀)若数列$\{a_n\}$满足：存在正整数$T$，对任意正整数$n$ 都有$a_{n+T}=a_n$成立，则称数列$\{a_n\}$为周期数列，周期为$T$．已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=m(m>0), a_{n+1}=\left\{\begin{aligned}&a_n-1,&a_n>1,\\&\dfrac 1{a_n},&0<a_n\le 1.\end{aligned}\right.$则下列结论中错误的是

     A. 若$a_3=4$，则$m$可以取3个不同的值
     B. 若$m=\sqrt 2$，则数列$\{a_n\}$是周期为3 的数列
     C. $\forall T\in \mathbb{N}^*$且$T\ge 2,\exists m>1$，使得$\{a_n\}$是周期为$T$ 的数列
     D.$\exists m \in \mathbb{Q}$且$m\ge 2$，使得数列$\{a_n\}$是周期数列

分析与解：

     如果胆子大点，这题都不用想，直接选择D了，这就是这题结果正是选择D。对于A，按题目所给的递推条件，分二种情况分别计算，如，$3=a_3=a_2-1$，或者$3=a_3=\dfrac 1{a_2}$；B项与A类似处理。下面着重看看选项C（解法来自 地狱的死灵，感谢)：

     现在只需要证明，当$\forall T\in \mathbb{N}^*,T\ge 2,\exists m\in (T-1,T)$，使得$a_{1+T}=a_1$。

\begin{align*}
   \because m\in (T-1,T),T\ge2 ,& \therefore  m-T<0,m>T-1\ge1  \\&\therefore   m-T+1<1\\
  &\left\{\begin{aligned}
  &a_T=a_{T-1}-1\\
  &a_{T-1}=a_{T-2}-1\\
  &\ldots\\
  &a_3=a_2-1\\
  &a_2=a_1-1
  \end{aligned}\right\}(T-1)个
  \end{align*}
将这个$T-1$等式相加有：
\begin{align*}
   a_T  &=a_1-(T-1)\\
  &=m-T+1\\
  &<1\\
  &\therefore a_1= a_{T+1}=\dfrac {1}{a_T}=\dfrac 1{m-T+1}=m
  \end{align*}
即
\begin{align*}
  &m^2-(T-1)m-1=0
  \end{align*}
解得
\[
m=\dfrac {T-1\pm\sqrt{T^2-2T+5}}2
  \]
而取$m=\dfrac {T-1+\sqrt{T^2-2T+5}}2$时
\begin{align*}
  T-1=\dfrac {2(T-1)}2&<m=\dfrac {T-1+\sqrt{T^2-2T+5}}2\\
  & <\dfrac {T-1+\sqrt{T^2-T^2+5}}2 \ (\because T\ge2)\\
  &<\dfrac {T-1+\sqrt 5}2\\&<T
  \end{align*}

即，当$\forall T\in \mathbb{N}^*,T\ge 2,\exists \ m\in (T-1,T)$，使得$a_{1+T}=a_1$。这样，此题不正确的项便是D了。

8# isea
否定D觉得用反证法,因为不排除还有别的出现周期的方式,比如先减4次,倒数,再减3次,倒数,...构成周期,
假设有理数m存在,设$m=\frac{q}{p},(p,q)=1,p,q\in Z^+,p>2q$,
若$a_k>1,a_{k+1}<1,$($a_k=1或a_{k+1}=1$,容易得到$n\ge k+1,a_n=1,$不合周期定义),记$a_{k+1}=\frac{t}{p},t< p,(t,p)=1,t\in Z^+$,$a_{k+2}=\frac{p}{t}$,...,可见数列中的分式,分母一直变小,一直到1,1,1,..1,不符合周期要求.

9# realnumber


正对此严格证明苦恼，先标记

赞楼主的工作，想问下里面的插图是自己画的还是截的。
另外，我觉得把题目一道一道切割开保存成题库比较好，不知道有没有人有兴趣作这项工作。
我想做，但技术上不行。
想法是->将pdf或doc 版本的自动切割，公式转化 进入数据库。

赞楼主的工作，想问下里面的插图是自己画的还是截的。
另外，我觉得把题目一道一道切割开保存成题库比较好，不知道有没有人有兴趣作这项工作。
我想做，但技术上不行。
想法是->将pdf或doc 版本的自动切割，公式转 ...
tan9p 发表于 2013-5-8 22:32

LaTeX宏包，用TiKZ自己画的，tex格式就是源文件。

有源文件，想怎么整都行，一点兴趣与爱好，不商用也不感兴趣，随便转载，随便改，但是有了麻烦不要找偶就成，哈哈。

8# isea
否定D觉得用反证法,因为不排除还有别的出现周期的方式,比如先减4次,倒数,再减3次,倒数,...构成周期,
假设有理数m存在,设$m=\frac{q}{p},(p,q)=1,p,q\in Z^+,p>2q$,
若$a_k>1,a_{k+1}
realnumber 发表于 2013-5-8 14:14

明白大约意思了，但还是理解不了，有些。

数列题！ 感谢楼主的源文件！！

楼主是用CTex编译的么？XeLatex编译不通过啊。。楼主用的什么版本么，，

15# Tesla35

先看看你系统有没有源文件设置里的那些字体

楼主是用CTex编译的么？XeLatex编译不通过啊。。楼主用的什么版本么，，
Tesla35 发表于 2013-5-9 21:43

嗯，CTeX v2.9.2.164，XeLatex，多半是没字体CMU Serif，见 19楼
http://kkkkuingggg.5d6d.net/thread-1305-2-1.html


然后Adobe Kaiti Std，Adobe Heiti Std，Adobe Song Std 这三种Adobe字体，若没有，网上下之。

最后一种字体是 Cambria Math，这个一般都会有。

17# isea

刚才在群里看到他连 \usepackage[inline]{enumitem} 都报错，提示说未知选项 inline，估计系统太旧了……

18# kuing

可能。

这个容易全删除了，只是没标事情而已。

LaTeX排错也是麻烦的，LaTeX的通用性稍差啊。