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李斌斌755

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1^#

发表于 2013-4-30 21:49

[几何] 小球个数

本帖最后由李斌斌755 于 2013-4-30 22:01 编辑

转自东方论坛
http://bbs.cnool.net/cthread-104238033.html
一个大球内放入6个大小相同小球，当小球体积最大时，求小球的半径；此时空隙可放小球的半径是多少？

李斌斌755

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2^#

发表于 2013-4-30 21:59

本帖最后由李斌斌755 于 2013-4-30 22:32 编辑

放$2,3,\cdots,n$个相同小球的情况？小球的半径组成的数列有通项吗？

yes94

论坛元老

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3^#

发表于 2013-4-30 22:11

2# 李斌斌755
没事各大论坛闲逛啊？

李斌斌755

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4^#

发表于 2013-4-30 22:16

3# yes94
闲着也是闲着

李斌斌755

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5^#

发表于 2013-5-2 10:51

没人理啊

kuing

管理员

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6^#

发表于 2013-5-2 15:34

太难了啊……

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
现状：冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做！（粤语）

realnumber

论坛元老

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7^#

发表于 2013-5-2 16:22

要是可以做实验就好了,证明更是渺茫,
猜是:3个小球两两相切,球心在一个平面内,构成一个正三角形,另外三个也是,且2个面平行,球心在面上的射影构成正六边形,两个面距离适当,使得两组小球相切.
此时,若小球半径为1,则大球半径为$1+\frac{5}{2\sqrt{3}}$

realnumber

论坛元老

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8^#

发表于 2013-5-2 16:28

也即两两相切的三小球,绕三球心正三角形中心旋转60$\du$,再沿着与正三角形所在平面垂直的方向平移$\sqrt3$,这是另外三球位置.假定小球半径为1.

李斌斌755

论坛元老

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9^#

发表于 2013-5-2 16:29

2个，3个的情况，对吗？要怎么证明呢？

211.png (80.67 KB)

realnumber

论坛元老

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10^#

发表于 2013-5-2 16:32

如果六小球球心在一个面个,比如正六边形以及中心7点中的6点,那么大球半径为3,等会再来实验其他位置,

李斌斌755

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11^#

发表于 2013-5-2 16:47

4个情况。A_BCD为球内接正四面体，O为球心。
5个时

212.png (27.41 KB)

李斌斌755

论坛元老

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12^#

发表于 2013-5-2 16:49

10# realnumber
正六面体，妙！

realnumber

论坛元老

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13^#

发表于 2013-5-2 16:56

9# 李斌斌755
应该对吧.
2个情况证明:假定2小球球心距离为d,$d\ge 2r$,那么两小球上分别有一点,距离为2r+d.也即大球要覆盖这2点的话,直径至少要2r+d.
3个也类似.就这样?

realnumber

论坛元老

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14^#

发表于 2013-5-2 17:00

11# 李斌斌755
也是猜测,5个小球时,5个球心是两个底面重合的正四面体的五个顶点.

零定义

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15^#

发表于 2013-5-2 21:23

12# 李斌斌755

5个球心就出现正六面体了？应该是两个共底面的正四面体吧...6个的话，应该是正八面体~表示此题是22届高二希望杯一试的一个填空题

做自己的睡神，让别人说去...

李斌斌755

论坛元老

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16^#

发表于 2013-5-2 22:34

15# 零定义
高二，说说……

kuing

管理员

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17^#

发表于 2013-5-2 22:41

15# 零定义

填空题还好了，可以凭感觉来猜……
其实我前面之所以说难，是因为这些问题若是要严格证明出来的话往往都不是我能干的事……就像等周问题，我一直只会拿来用，要我证明它就真不会……

李斌斌755

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18^#

发表于 2013-5-2 22:59

17# kuing
你们来个高数证明应该可以吧？

零定义

中级会员

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帖子: 86

19^#

发表于 2013-5-2 23:32

由于球具有对称性，不妨从对称性入手，将大球切为半球，再考虑考虑，看看行不行得通...打酱油lu过，继续打酱油去...

做自己的睡神，让别人说去...

李斌斌755

论坛元老

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20^#

发表于 2013-5-3 12:13

谢谢楼上各位，讨论到这本题基本解决！

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