[不等式] 求助不等式

$ 已知a,b为正实数,ab=2a+2b-3,a^2+b^2的最小值. $

条件化为 $(a-2)(b-2)=1$，故 $a$, $b$ 同时大于 $2$ 或同时小于 $2$，显然要使 $a^2+b^2$ 取最小值应当 $a$, $b<2$，令 $2-a=x$, $2-b=y$, 则易得 $x$, $y\in(1/2,2)$ 且 $xy=1$，而
\[a^2+b^2=(2-x)^2+(2-y)^2=2+(x+y-2)^2\geqslant 2,\]
当且仅当 $a=b=1$ 时取等。

设a+b=p,ab=q,q=2p-3
a^2+b^2=p^2-2q=p^2-4p+6≥2
a=b=1时取等号

1# goft
因为$(a-2)(b-2)=1$,令$a=x-y+2,b=x+y+2$,于是$x^2-y^2=1$
所以$a^2+b^2=(x-y+2)^2+(x+y+2)^2=2x^2+2y^2+8x+8=4x^2+8x+6\geqslant2.$

谢谢大家指导，背景应该是双曲线的性质

3# 地狱的死灵
设$a+b=p,ab=q,q=2p-3$
$a^2+b^2=p^2-2q=p^2-4p+6≥2$
$a=b=1$时取等号
解得真干脆啊.

设a+b=p,ab=q,q=2p-3
a^2+b^2=p^2-2q=p^2-4p+6≥2
a=b=1时取等号
地狱的死灵 发表于 2013-4-27 23:02

是啊，换得好巧妙

我条件反射地将条件变成了那样……

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2013-4-27 23:48

9# yes94

10# 李斌斌755
你很喜欢几何的嘛，这次怎么不出招？反被我抢去了！

其实2楼、3楼都是一样的！都是下式:
\[{a^2} + {b^2} = {(a + b)^2} - 2ab = {(a + b)^2} - 2(2a + 2b - 3) = {(a + b - 2)^2} + 2 \geqslant 2\]

12# yes94
也可以变成这样：
\[{a^2} + {b^2} = {(a + b)^2} - 2ab = {(\frac{{ab + 3}}{2})^2} - 2ab = \frac{{{{(ab)}^2}}}{4} - \frac{{ab}}{2} + \frac{9}{4} = \frac{1}{4}{(ab - 1)^2} + 2 \geqslant 2\]

11# yes94
复杂化，硬来一种。$y=\frac{x^2}2d$上斜率$k=2$的切线方程为$y=2x-2$
设$a+b=x,ab=y.M=a^2+b^2\riff y=2x-3,M=a^2+b^2=x^2-2y\riff y+\dfrac M2=\dfrac{x^2}2$
图像整体向下移动一个单位，所以\[\dfrac M2=1\riff M=2\]

14# 李斌斌755
写的神马？

15# yes94
曲线$y=\dfrac{x^2}2+\dfrac M2d$与直线$y=2x-3$有交点，所以$\dfrac M2\geqslant1$

16# 李斌斌755
来一个简单地均值不等式的方法：
\[{(a + b)^2}+4 \geqslant 4(a + b) = 2ab + 6 \Rightarrow {a^2} + {b^2} \geqslant 2\]

17# yes94
代数方法好啊

因为\[{a^2}{b^2} + 1 \geqslant 2ab \Rightarrow {a^2}{b^2} + 6ab + 9 \geqslant 8ab + 8 \Rightarrow {(2a + 2b)^2} = {(ab + 3)^2} \geqslant 8ab + 8\] 展开整理得，\[4{a^2} + 4{b^2} \geqslant 8 \Rightarrow {a^2} + {b^2} \geqslant 2\]

19# yes94
或者改写为：
\[{(2a + 2b)^2} = {(ab + 3)^2} = ({a^2}{b^2} + 1) + (6ab + 8) \geqslant 2ab +(6ab +8)\]故\[4{a^2} + 8ab + 4{b^2}\geqslant 8ab + 8 \Rightarrow {a^2} + {b^2}\geqslant 2\]