[数列] 不能表示为3的幂

已知$a_{0} = 1, a_{1} = 3 ,且a_{n+2} - 4a_{n+1} + a_{n} = 0,$
证明当$n>1$时，不存在正整数$k使得a_{n}=3^k.$

求通项是否上当了？

仅凭通项肯定不行的吧，还有无理项.

3# reny

(21.54 KB)

2013-4-25 20:31

4# yes94
这个有特征方程易得,关键是……

与其说是数列题，不如说是数论题...
本人愚钝的思路：
先考虑mod 2，A(n+2)≡A(n)(mod 2)，发现以2为周期；
然后考虑mod 3，3|An；
再考虑mod 9，A(n+2)≡A(n+1)-A(n)(mod 9)，发现以6为周期；
最后考虑mod 5，A(n+2)≡-[A(n+1)+A(n)](mod 5)，发现以3为周期。
综上，便可证得~
本人愚钝，并且人懒，望哪位大师写一下证明过程吧~

6# 零定义
没有看懂，怎么能证明不可以表示为3的幂？

现在发现mod 2原来是多余的...
1、3|A(n)可得“A(n+2)≡A(n+1)-A(n)(mod 9)”；
2、A(6n)≡0(mod 9)，A(6n+1)≡3(mod 9)，A(6n+2)≡3(mod 9)，A(6n+3)≡0(mod 9)，A(6n+4)≡6(mod 9)，A(6n+5)≡6(mod 9)说明“若能表示为3的幂必是3n项”；
3、A(3n)≡0(mod 5)，A(3n+1)≡3(mod 5)，A(3n+2)≡2(mod 5)说明“若能表示为3的幂必不是3n项”.
综上就得命题成立...

mod 9 似乎不是那么简单吧
我用mathematica列了一下
a[0] = 1;
a[1] = 3;
Do[a[n + 2] = 4 a[n + 1] - a[n], {n, 0, 100}]
Table[Mod[a[n], 9], {n, 0, 100}]
结果是
{1, 3, 2, 5, 0, 4, 7, 6, 8, 8, 6, 7, 4, 0, 5, 2, 3, 1, 1, 3, 2, 5, 0, 4, 7, 6, 8, 8, 6, 7, 4, 0, 5, 2, 3, 1, 1, 3, 2, 5, 0, 4, 7, 6, 8, 8, 6, 7, 4, 0, 5, 2, 3, 1, 1, 3, 2, 5, 0, 4, 7, 6, 8, 8, 6, 7, 4, 0, 5, 2, 3, 1, 1, 3, 2, 5, 0, 4, 7, 6, 8, 8, 6, 7, 4, 0, 5, 2, 3, 1, 1, 3, 2, 5, 0, 4, 7, 6, 8, 8, 6}
周期似乎是18

原来俺一直都在用A0=0来算了...原谅俺吧~~~

又是模周期数列

9楼的kuing,可以得到$9\mid a_n$,则$n=9m-4,m\in Z$.
要不也罗列下mod2,4;8,10;26,28?分别要被3,9,27整除的话,应该与±1同余.如果有n=9m+1或9m+2什么,那么就 矛盾了.
软件好强大啊.....

12# realnumber
掌握高科技就是好啊

9楼的kuing,可以得到$9\mid a_n$,则$n=9m-4,m\in Z$.
要不也罗列下mod2,4;8,10;26,28?分别要被3,9,27整除的话,应该与±1同余.如果有n=9m+1或9m+2什么,那么就 矛盾了.
软件好强大啊.....
realnumber 发表于 2013-4-26 08:33

所有数都是奇数，所以 mod 2 都是 1，于是下面从 mod 3 开始列，列到 mod 30 先，每个列 101 个数（注意是从 a0 开始列的）。

输入：
nmax = 100;
mmax = 30;
a[0] = 1;
a[1] = 3;
Do[a[n + 2] = 4 a[n + 1] - a[n], {n, 0, nmax}]
Do[Print["mod ", k, " = ", Table[Mod[a[n], k], {n, 0, nmax}]], {k, 3, mmax}]
输出：
mod 3 = {1,0,2,2,0,1,1,0,2,2,0,1,1,0,2,2,0,1,1,0,2,2,0,1,1,0,2,2,0,1,1,0,2,2,0,1,1,0,2,2,0,1,1,0,2,2,0,1,1,0,2,2,0,1,1,0,2,2,0,1,1,0,2,2,0,1,1,0,2,2,0,1,1,0,2,2,0,1,1,0,2,2,0,1,1,0,2,2,0,1,1,0,2,2,0,1,1,0,2,2,0}

mod 4 = {1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1}

mod 5 = {1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3}

mod 6 = {1,3,5,5,3,1,1,3,5,5,3,1,1,3,5,5,3,1,1,3,5,5,3,1,1,3,5,5,3,1,1,3,5,5,3,1,1,3,5,5,3,1,1,3,5,5,3,1,1,3,5,5,3,1,1,3,5,5,3,1,1,3,5,5,3,1,1,3,5,5,3,1,1,3,5,5,3,1,1,3,5,5,3,1,1,3,5,5,3,1,1,3,5,5,3,1,1,3,5,5,3}

mod 7 = {1,3,4,6,6,4,3,1,1,3,4,6,6,4,3,1,1,3,4,6,6,4,3,1,1,3,4,6,6,4,3,1,1,3,4,6,6,4,3,1,1,3,4,6,6,4,3,1,1,3,4,6,6,4,3,1,1,3,4,6,6,4,3,1,1,3,4,6,6,4,3,1,1,3,4,6,6,4,3,1,1,3,4,6,6,4,3,1,1,3,4,6,6,4,3,1,1,3,4,6,6}

mod 8 = {1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1}

mod 9 = {1,3,2,5,0,4,7,6,8,8,6,7,4,0,5,2,3,1,1,3,2,5,0,4,7,6,8,8,6,7,4,0,5,2,3,1,1,3,2,5,0,4,7,6,8,8,6,7,4,0,5,2,3,1,1,3,2,5,0,4,7,6,8,8,6,7,4,0,5,2,3,1,1,3,2,5,0,4,7,6,8,8,6,7,4,0,5,2,3,1,1,3,2,5,0,4,7,6,8,8,6}

mod 10 = {1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3}

mod 11 = {1,3,0,8,10,10,8,0,3,1,1,3,0,8,10,10,8,0,3,1,1,3,0,8,10,10,8,0,3,1,1,3,0,8,10,10,8,0,3,1,1,3,0,8,10,10,8,0,3,1,1,3,0,8,10,10,8,0,3,1,1,3,0,8,10,10,8,0,3,1,1,3,0,8,10,10,8,0,3,1,1,3,0,8,10,10,8,0,3,1,1,3,0,8,10,10,8,0,3,1,1}

mod 12 = {1,3,11,5,9,7,7,9,5,11,3,1,1,3,11,5,9,7,7,9,5,11,3,1,1,3,11,5,9,7,7,9,5,11,3,1,1,3,11,5,9,7,7,9,5,11,3,1,1,3,11,5,9,7,7,9,5,11,3,1,1,3,11,5,9,7,7,9,5,11,3,1,1,3,11,5,9,7,7,9,5,11,3,1,1,3,11,5,9,7,7,9,5,11,3,1,1,3,11,5,9}

mod 13 = {1,3,11,2,10,12,12,10,2,11,3,1,1,3,11,2,10,12,12,10,2,11,3,1,1,3,11,2,10,12,12,10,2,11,3,1,1,3,11,2,10,12,12,10,2,11,3,1,1,3,11,2,10,12,12,10,2,11,3,1,1,3,11,2,10,12,12,10,2,11,3,1,1,3,11,2,10,12,12,10,2,11,3,1,1,3,11,2,10,12,12,10,2,11,3,1,1,3,11,2,10}

mod 14 = {1,3,11,13,13,11,3,1,1,3,11,13,13,11,3,1,1,3,11,13,13,11,3,1,1,3,11,13,13,11,3,1,1,3,11,13,13,11,3,1,1,3,11,13,13,11,3,1,1,3,11,13,13,11,3,1,1,3,11,13,13,11,3,1,1,3,11,13,13,11,3,1,1,3,11,13,13,11,3,1,1,3,11,13,13,11,3,1,1,3,11,13,13,11,3,1,1,3,11,13,13}

mod 15 = {1,3,11,11,3,1,1,3,11,11,3,1,1,3,11,11,3,1,1,3,11,11,3,1,1,3,11,11,3,1,1,3,11,11,3,1,1,3,11,11,3,1,1,3,11,11,3,1,1,3,11,11,3,1,1,3,11,11,3,1,1,3,11,11,3,1,1,3,11,11,3,1,1,3,11,11,3,1,1,3,11,11,3,1,1,3,11,11,3,1,1,3,11,11,3,1,1,3,11,11,3}

mod 16 = {1,3,11,9,9,11,3,1,1,3,11,9,9,11,3,1,1,3,11,9,9,11,3,1,1,3,11,9,9,11,3,1,1,3,11,9,9,11,3,1,1,3,11,9,9,11,3,1,1,3,11,9,9,11,3,1,1,3,11,9,9,11,3,1,1,3,11,9,9,11,3,1,1,3,11,9,9,11,3,1,1,3,11,9,9,11,3,1,1,3,11,9,9,11,3,1,1,3,11,9,9}

mod 17 = {1,3,11,7,0,10,6,14,16,16,14,6,10,0,7,11,3,1,1,3,11,7,0,10,6,14,16,16,14,6,10,0,7,11,3,1,1,3,11,7,0,10,6,14,16,16,14,6,10,0,7,11,3,1,1,3,11,7,0,10,6,14,16,16,14,6,10,0,7,11,3,1,1,3,11,7,0,10,6,14,16,16,14,6,10,0,7,11,3,1,1,3,11,7,0,10,6,14,16,16,14}

mod 18 = {1,3,11,5,9,13,7,15,17,17,15,7,13,9,5,11,3,1,1,3,11,5,9,13,7,15,17,17,15,7,13,9,5,11,3,1,1,3,11,5,9,13,7,15,17,17,15,7,13,9,5,11,3,1,1,3,11,5,9,13,7,15,17,17,15,7,13,9,5,11,3,1,1,3,11,5,9,13,7,15,17,17,15,7,13,9,5,11,3,1,1,3,11,5,9,13,7,15,17,17,15}

mod 19 = {1,3,11,3,1,1,3,11,3,1,1,3,11,3,1,1,3,11,3,1,1,3,11,3,1,1,3,11,3,1,1,3,11,3,1,1,3,11,3,1,1,3,11,3,1,1,3,11,3,1,1,3,11,3,1,1,3,11,3,1,1,3,11,3,1,1,3,11,3,1,1,3,11,3,1,1,3,11,3,1,1,3,11,3,1,1,3,11,3,1,1,3,11,3,1,1,3,11,3,1,1}

mod 20 = {1,3,11,1,13,11,11,13,1,11,3,1,1,3,11,1,13,11,11,13,1,11,3,1,1,3,11,1,13,11,11,13,1,11,3,1,1,3,11,1,13,11,11,13,1,11,3,1,1,3,11,1,13,11,11,13,1,11,3,1,1,3,11,1,13,11,11,13,1,11,3,1,1,3,11,1,13,11,11,13,1,11,3,1,1,3,11,1,13,11,11,13,1,11,3,1,1,3,11,1,13}

mod 21 = {1,3,11,20,6,4,10,15,8,17,18,13,13,18,17,8,15,10,4,6,20,11,3,1,1,3,11,20,6,4,10,15,8,17,18,13,13,18,17,8,15,10,4,6,20,11,3,1,1,3,11,20,6,4,10,15,8,17,18,13,13,18,17,8,15,10,4,6,20,11,3,1,1,3,11,20,6,4,10,15,8,17,18,13,13,18,17,8,15,10,4,6,20,11,3,1,1,3,11,20,6}

mod 22 = {1,3,11,19,21,21,19,11,3,1,1,3,11,19,21,21,19,11,3,1,1,3,11,19,21,21,19,11,3,1,1,3,11,19,21,21,19,11,3,1,1,3,11,19,21,21,19,11,3,1,1,3,11,19,21,21,19,11,3,1,1,3,11,19,21,21,19,11,3,1,1,3,11,19,21,21,19,11,3,1,1,3,11,19,21,21,19,11,3,1,1,3,11,19,21,21,19,11,3,1,1}

mod 23 = {1,3,11,18,15,19,15,18,11,3,1,1,3,11,18,15,19,15,18,11,3,1,1,3,11,18,15,19,15,18,11,3,1,1,3,11,18,15,19,15,18,11,3,1,1,3,11,18,15,19,15,18,11,3,1,1,3,11,18,15,19,15,18,11,3,1,1,3,11,18,15,19,15,18,11,3,1,1,3,11,18,15,19,15,18,11,3,1,1,3,11,18,15,19,15,18,11,3,1,1,3}

mod 24 = {1,3,11,17,9,19,19,9,17,11,3,1,1,3,11,17,9,19,19,9,17,11,3,1,1,3,11,17,9,19,19,9,17,11,3,1,1,3,11,17,9,19,19,9,17,11,3,1,1,3,11,17,9,19,19,9,17,11,3,1,1,3,11,17,9,19,19,9,17,11,3,1,1,3,11,17,9,19,19,9,17,11,3,1,1,3,11,17,9,19,19,9,17,11,3,1,1,3,11,17,9}

mod 25 = {1,3,11,16,3,21,6,3,6,21,3,16,11,3,1,1,3,11,16,3,21,6,3,6,21,3,16,11,3,1,1,3,11,16,3,21,6,3,6,21,3,16,11,3,1,1,3,11,16,3,21,6,3,6,21,3,16,11,3,1,1,3,11,16,3,21,6,3,6,21,3,16,11,3,1,1,3,11,16,3,21,6,3,6,21,3,16,11,3,1,1,3,11,16,3,21,6,3,6,21,3}

mod 26 = {1,3,11,15,23,25,25,23,15,11,3,1,1,3,11,15,23,25,25,23,15,11,3,1,1,3,11,15,23,25,25,23,15,11,3,1,1,3,11,15,23,25,25,23,15,11,3,1,1,3,11,15,23,25,25,23,15,11,3,1,1,3,11,15,23,25,25,23,15,11,3,1,1,3,11,15,23,25,25,23,15,11,3,1,1,3,11,15,23,25,25,23,15,11,3,1,1,3,11,15,23}

mod 27 = {1,3,11,14,18,4,25,15,8,17,6,7,22,0,5,20,21,10,19,12,2,23,9,13,16,24,26,26,24,16,13,9,23,2,12,19,10,21,20,5,0,22,7,6,17,8,15,25,4,18,14,11,3,1,1,3,11,14,18,4,25,15,8,17,6,7,22,0,5,20,21,10,19,12,2,23,9,13,16,24,26,26,24,16,13,9,23,2,12,19,10,21,20,5,0,22,7,6,17,8,15}

mod 28 = {1,3,11,13,13,11,3,1,1,3,11,13,13,11,3,1,1,3,11,13,13,11,3,1,1,3,11,13,13,11,3,1,1,3,11,13,13,11,3,1,1,3,11,13,13,11,3,1,1,3,11,13,13,11,3,1,1,3,11,13,13,11,3,1,1,3,11,13,13,11,3,1,1,3,11,13,13,11,3,1,1,3,11,13,13,11,3,1,1,3,11,13,13,11,3,1,1,3,11,13,13}

mod 29 = {1,3,11,12,8,20,14,7,14,20,8,12,11,3,1,1,3,11,12,8,20,14,7,14,20,8,12,11,3,1,1,3,11,12,8,20,14,7,14,20,8,12,11,3,1,1,3,11,12,8,20,14,7,14,20,8,12,11,3,1,1,3,11,12,8,20,14,7,14,20,8,12,11,3,1,1,3,11,12,8,20,14,7,14,20,8,12,11,3,1,1,3,11,12,8,20,14,7,14,20,8}

mod 30 = {1,3,11,11,3,1,1,3,11,11,3,1,1,3,11,11,3,1,1,3,11,11,3,1,1,3,11,11,3,1,1,3,11,11,3,1,1,3,11,11,3,1,1,3,11,11,3,1,1,3,11,11,3,1,1,3,11,11,3,1,1,3,11,11,3,1,1,3,11,11,3,1,1,3,11,11,3,1,1,3,11,11,3,1,1,3,11,11,3,1,1,3,11,11,3,1,1,3,11,11,3}

mod 9
mod 26就可以得出矛盾
数列中项$a_n>27$时,若可以写成$a_n=3^k,k\in Z$,那么有$a_n\equiv0 \mod9,a_n\equiv1 \mod26$
由kuing给的数据可得$n=9m+4,m\in Z,且n=12k或12k+11$,显然$n=12k=9m+4$与$n=9m+4=12k+11$无解,(后者为$9m-12k=7$)
----错了

$\mod9,\mod {10}$,2个就可以了,更简单,$n=9m+4=3k或3k+2,m,k\in Z$----也错了

mod 9
mod 26就可以得出矛盾
数列中项$a_n>27$时,若可以写成$a_n=3^k,k\in Z$,那么有$a_n\equiv0 \mod9,a_n\equiv1 \mod26$
由kuing给的数据可得$n=9m+4,m\in Z,且n=12k或12k+11$,显然$n=12k=9m+4$与$n=9m+4=12k+ ...
realnumber 发表于 2013-4-26 14:56

为什么 $a_n\equiv1 \mod26$？

PS、a_n\equiv1 \pmod{26} 显示 $a_n\equiv1 \pmod{26}$

17# kuing
啊,我错了,应该是1,3,9

由kk的列表可得，mod 9和mod 17导致矛盾...哎~不同的首项，观察难度就大了那么的多...

19# 零定义

怎么推的？