20# hongxian

嗯，倒是第一问还有点意思

不知道原答案是怎样的，我用数学归纳法搞不定。
ps，yayawehe同学的第（1）问做得漂亮，像是两边同除以$a_na_{n+1}$

22# 第一章

放缩然后再除……就因为这个做法所以说第一问有点意思

k是不是考虑把这个题修改修改，不要浪费了……

24# 第一章

暂时没什么 idea，命题一向不是我的强行……或者干脆说是弱项……

$a_{n+1}=a_n+\dfrac{a_n^2}{n^2}<a_n+\dfrac{a_n}{n^2}=\dfrac{1+n^2}{n^2}a_n\\
\Longrightarrow a_n>\dfrac{n^2}{1+n^2}a_{n+1}
\\
\Longrightarrow a_{n+1}=a_n+\dfrac{a_n^2}{n^2}>a_n+\dfrac{a_n}{n^2}\dfrac{n^2}{1+n^2}a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{1+n^2}a_na_{n+1}>a_n+\dfrac{1}{n+n^2}a_na_{n+1}$
$\Longrightarrow \dfrac{1}{a_n}-\dfrac{1}{a_{n+1}}>\dfrac{1}{n^2+n}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$
$\displaystyle\Longrightarrow \sum_{i=1}^{n-1}\left(\dfrac{1}{a_i}-\dfrac{1}{a_{i+1}}\right)>\sum_{i=1}^{n-1}\left(\dfrac{1}{i}-\dfrac{1}{i+1}\right)$
$\Longrightarrow 3-\dfrac{1}{a_n}>1-\dfrac{1}{n}$
$\Longrightarrow a_n>\dfrac{n}{2n+1}>\dfrac{2n-1}{4n}=\dfrac12-\dfrac{1}{4n}$

26# hnsredfox_007


答案是这么做的吗？
没有看楼上那些讨论，原来还有很简单的方法哦，呵呵

27# hnsredfox_007
某几年的类似于此题的模拟题的放缩方法就是这样的，因此你的可能就是标答！
事实上，这儿也有一题：http://bbs.pep.com.cn/forum.php? ... &extra=page%3D1
$\dfrac{\ln2^2}{2^2}+\dfrac{\ln3^2}{3^2}+\cdots+\dfrac{\ln(n+1)^2}{(n+1)^2}>\dfrac n{2(n+1)(n+2)}$
标答够造的函数似乎很妙，很时髦，但是由单调性，却发现了那些时髦的构造函数法大材小用了。
因此在命题要防止这种现象，也就是标答不要放缩过度，造成该题有极其简单的方法，失去了压轴题标答的巧妙意味。
楼主是高考命题教师？

19# kuing
话说k的计算没出问题吧？
ps，这个论坛，每次关掉页面后，就得重新登录。真心蛋疼，人教那边都没出现这个现象。

29# 第一章
我也没看kk的计算，估计有软件算吧，还会错不成？
你可以再登录时点记住密码就行啦

29# 第一章

我用软件列的。
PS. 我这里没出现过这个问题，各个浏览器都没问题。

28# yes94

$$\dfrac{\ln2^2}{2^2}+\dfrac{\ln3^2}{3^2}+\cdots+\dfrac{\ln(n+1)^2}{(n+1)^2}>\dfrac n{2(n+1)(n+2)}$$


这题当年讨论过的
http://kkkkuingggg.5d6d.net/view ... peid%3D2&page=2

http://kkkkuingggg.5d6d.net/view ... %26amp%3Btypeid%3D2

27# hnsredfox_007
某几年的类似于此题的模拟题的放缩方法就是这样的，因此你的可能就是标答！
事实上，这儿也有一题：http://bbs.pep.com.cn/forum.php? ... &extra=page%3D1
$\dfrac{\l ...
yes94 发表于 2013-4-24 21:38

看惯了这里的公式……再看那个链接里的……简直不想看……

33# kuing
我也不想看，所以我还编辑成了latex转过来了！

今天翻了2006年在汕头买的一本书《举一反三——高中数学解题经典》，无意间发现一个类似的题目。
看来，楼主的题也是老题。

26# hnsredfox_007
书后的解答与张老师的解法完全一样。
奇怪的是$a_0$这东西，貌似高考避开的啊，而一本教辅书，又肯定是照帮原题或网络的题。

26# hnsredfox_007
书后的解答与张老师的解法完全一样。
奇怪的是$a_0$这东西，貌似高考避开的啊，而一本教辅书，又肯定是照帮原题或网络的题。
第一章 发表于 2013-4-25 22:38

我当时就想照搬一下那个放缩的解法了，但是 沉迷于灌水，懒得去想了

其实，我也是做过这道题，因为辅导竞赛(好像是在《奥赛经典》一书中)……但是那个好像可以数学归纳法……

38# hnsredfox_007
你们都玩奥数

38# hnsredfox_007
你们都玩奥数
李斌斌755 发表于 2013-4-26 11:59

不算奥数吧