[数列] 求助：一个数列压轴题

已知$a_1=\frac13$,$a_{n+1}=a_n+\frac{a_n^2}{n^2}$,求证：（1）$a_n<a_{n+1}<1$;(2)$a_n>\frac1{2}-\frac1{4n}$

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$a_{n+1}=a_n+\frac{a_n^2}{n^2}$先证明$a_n<a_{n+1}$,然后有$$\frac{1}{n^2}>\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}}$$
有$$2>\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n^2}>\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_{n+1}}$$

第2问 用数学归纳法试试看吧！

3# yayaweha
怎样证明\[a_{n+1}>a_n\]

5# 李斌斌755


$a_{n+1}=a_n+\frac{a_n^2}{n^2}$
直接做差，是不是

6# yayaweha
$\dfrac{a_n^2}{n^2}\geqslant0\riff a_n\geqslant0$

还有等于零情况？

6# yayaweha
$\dfrac{{a_n}^2}{n^2}\geqslant0\riff{a_n}\geqslant0$

还有等于零情况？
李斌斌755 发表于 2013-4-22 17:45

显然不会有0啊

PS、代码可优化，
\dfrac{{a_n}^2}{n^2}\geqslant0\riff{a_n}\geqslant0
只要写成
\dfrac{a_n^2}{n^2}\geqslant0\riff a_n\geqslant0
注意 \iff 与 a 之间有空格，否则如果连在一起会被当成另一个未知命令而报错。
还有，{a_n}^2 与 a_n^2 的显示效果会有不同，他们分别显示 ${a_n}^2$ 与 $a_n^2$。

直接用数学归纳法证明$a_{n+1}>a_n>0$算了

9# yayaweha

何必哩……一句“显然”就可以带过的事……

8# kuing
谢谢。

第二问数归好象没有成功，不知是不是算错了！

已知$a_1=\dfrac13$,$a_{n+1}=a_n+\dfrac{a_n^2}{n^2}$,求证：（1）$a_n<a_{n+1}<1;(2)a_n>\dfrac12−\dfrac1{4n−1}$
weihua97 发表于 2013-4-22 10:00

本题目的来源？

12# hongxian
第二问记错了，已经做了修改，谢谢

13# yes94
2013安徽儒风教育模拟题九

15# weihua97
百度没有找到,第二问数归还是没有成功!

15# weihua97
百度没有找到,第二问数归还是没有成功!
hongxian 发表于 2013-4-24 11:26

据说不是所有数归都好成功的

17# yes94


那只有等高手出手了!

其实我觉得……当 $n=1$, $2$, $3$ 时直接验证成立，而 $a_4=30760/59049>1/2$，于是由递增知当 $n\geqslant4$ 时 $a_n>1/2$……

19# kuing

这样看也是水母了!