40# 李斌斌755


\left[中间填内容\right]
例如:\left[\dfrac12\right]的效果就是$\left[\dfrac12\right]$

41# hongxian

谢谢！

这样是不是好点\[|\sin\theta-p\cos\theta-q|\leqslant\dfrac{\sqrt2-1}2\\\iff\frac{|\sin\theta-p\cos\theta-q|}{\sqrt{1+p^2}}\leqslant\dfrac{\sqrt2-1}{2\sqrt{1+p^2}}    (1)\]
设\[d=\frac{|\sin\theta-p\cos\theta-q|}{\sqrt{1+p^2}}\]其几何意义为第一象单位圆上的点到直线$x-py-q=0$的距离，令数对$(p,q)$对应一条直线.
根据图像分三种情况考虑
1）\[p=0\]\[\left[d_{\max}\right]_{\min}=\dfrac12>\dfrac{\sqrt2-1}2\]
不存在实数对。
2）\[p>0\]当$p$倾向于无穷大或$0$时\[\left[d_{\max}\right]_{\min}>\dfrac12>\dfrac{\sqrt2-1}{2\sqrt{1+p^2}}\]即不存在数对使不等式成立。
3）\[p<0\]由图像有
\[\left[d_{\max}\right]_{\min}=\dfrac{2-\sqrt2}4=\dfrac{2-\sqrt2}4\]
由图像得此时直线方程为\[x+y-\dfrac{\sqrt2+1}2=0\]即$p=-1,q=\dfrac{\sqrt2+1}2$不等式成立，即存在实数对$(-1,\dfrac{\sqrt2+1}2)$使不等式成立。
   综上所述只有数对$(-1,\dfrac{\sqrt2+1}2)$满足条件.
不知道上述中的$\left[d_{\max}\right]_{\min}$是否还需要的严格证明。

43# 李斌斌755
分母中的$\sqrt{1+p^2}$好象都写掉了，$p\geqslant0$时没有什么影响，$p<0$时估计还是要分三类$p\in (-\infty,-1)$,$P=-1$和$p\in(-1,0)$来说。

43# 李斌斌755

$p<0$时,好象
$\left[d_{\max}\right]_{\min}=\dfrac{\sqrt2-1}{2\sqrt2}$

回复44#45#
谢谢，43#已修改，当$p<0$时只有$p=-1,q=\dfrac{\sqrt2-1}2$时，$d$才取得最小值（由图像易知，不知需不需要证明），只要$p,q$中有一或两个变化，$d$值就会变大。

如果设成直线的系数项分别为$sin{\theta},cos{\theta}$就好了，可不分类讨论$p$……

47# 李斌斌755
你43楼的倒数第二行的数对写错啦！是（-1，…），你写成（1，…）
还有，三角函数用\sin,\cos，显示效果：$\sin\theta,\cos\alpha$
你的sin,cos显示效果：$sin\theta,cos\alpha$

22# kuing
应该有用吧，
改天看看能否借助你的这个结果。
yes94 发表于 2013-4-21 17:08

现在借用kuing的结果：
先定义区间长度函数$length[a,b]=b-a$.
\[设x = \sin \theta  - p\cos \theta  \in \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{[1,\sqrt {1 + {p^2}} ],}&{p <  - 1,}\\
{[ - p,\sqrt {1 + {p^2}} ],}&{ - 1\leqslant p\leqslant 0,}\\
{[ - p,1],}&{p > 0.}
\end{array}} \right.\]
\[\begin{array}{l}
|x - q|\leqslant
\frac{{\sqrt 2  - 1}}{2} \Leftrightarrow q - \frac{{\sqrt 2  - 1}}{2}\leqslant x\leqslant q + \frac{{\sqrt 2  - 1}}{2} \Leftrightarrow x \in [q - \frac{{\sqrt 2  - 1}}{2},q + \frac{{\sqrt 2  - 1}}{2}]\\
\Rightarrow length[q - \frac{{\sqrt 2  - 1}}{2},q + \frac{{\sqrt 2  - 1}}{2}] = \sqrt 2  - 1\\
If{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} p > 0 \Rightarrow x \in [ - p,1] \Rightarrow length[ - p,1] = 1 + p > 1 > \sqrt 2  - 1\\
If{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} p <  - 1 \Rightarrow x \in [1,\sqrt {1 + {p^2}} ] \Rightarrow length[1,\sqrt {1 + {p^2}} ] = \sqrt {1 + {p^2}}  - 1 > \sqrt 2  - 1\\
If  {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}  - 1\leqslant p\leqslant0 \Rightarrow x \in [ - p,\sqrt {1 + {p^2}} ] \Rightarrow length[ - p,\sqrt {1 + {p^2}} ] = \sqrt {1+ {p^2}}+ p = \frac{1}{{\sqrt {1+{p^2}}-p}}\geqslant\sqrt 2-1\\
When{\rm{ }}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} and{\rm{ }}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} only{\rm{ }}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} when{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} p = - 1{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} take{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}  "= "\\

So{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} p =  - 1 \Rightarrow x \in [ - p,\sqrt {1 + {p^2}} ] = [1,\sqrt 2 ]\\
Because{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x \in [q - \frac{{\sqrt 2  - 1}}{2},q + \frac{{\sqrt 2  - 1}}{2}] \Rightarrow length[q - \frac{{\sqrt 2  - 1}}{2},q + \frac{{\sqrt 2  - 1}}{2}] = \sqrt 2  - 1\\
So{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} q - \frac{{\sqrt 2  - 1}}{2} = 1{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} and{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} q + \frac{{\sqrt 2  - 1}}{2} = \sqrt 2  \Rightarrow q = \frac{{\sqrt 2  + 1}}{2}
\end{array}\]

49# yes94
中英文结合

请问，这么高的楼，有定性的结论了么？

再发一个几何解

52# 转化与化归
这个已经想过，正想写一下的，只是和你的大同小异

49# yes94
突然发现，和你的解法基本是一样的

49# yes94
突然发现，和你的解法基本是一样的
转化与化归 发表于 2013-4-22 22:39

52# 转化与化归

好方法!

纵截距之差为定值$\sqrt2-1$，就和我定义的length函数是一样的效果。
可能我的length函数把人吓住了吧？
改天再给出本题的个人第三种解法，希望能有人看懂。

57# yes94
这么晚了，还是明天或者后天吧

58# yes94
期待中

47# 李斌斌755
把左边看成直线$x=1$上的点到直线$x\sin\theta-y\cos\theta-q=0$的距离，由题意知，直线\[x\sin\theta-y\cos\theta-q=0\]必须在直线\[x=\dfrac{3-\sqrt2}2\]及直线\[x=\dfrac{\sqrt2+1}2\]范围内（含边界），即\[\dfrac{3-\sqrt2}2\leqslant x=\dfrac{q+p\cos\theta}{\sin\theta}\leqslant\dfrac{\sqrt2+1}2\]
下面就是代数运算，真烦……