[几何] QQ中看到的一个恒成立问题,先放到几何类中吧!

求使$\abs{\sin\theta-p\cos\theta-q}\leqslant\dfrac{\sqrt2-1}{2}$对任意$\theta\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$恒成立的实数对$(p,q)$

$x^2+y^2=1,x\ge0,y\ge0$
想到直线距离公式
$d=\frac{|x-py-q|}{\sqrt{1+p^2}}$
想不下去了

计算太烦，直线l是点B（0,1）到其距离为$\sqrt{2}-1$，原点A到其距离为$1$的直线，
直线k是平行l其过AC中点的直线，数对是直线k的斜率倒数及常数项，还有对应一直线，
共有两个数对

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2013-4-20 11:49

再补个图

4# 李斌斌755
应该是一个数对吧！

一个代数的解答

352的空间很早就有这个结果，但无解答，做的好！

7# yes94
是个好题，大家继续讨论，方法应该很多！

如果有几何意义，我怎么感觉不止一个解

以前我也见过，不过暂时没翻到贴子或聊天记录……

9# 李斌斌755
说说你的答案或者疑惑？

11# yes94
原式两边同除$\sqrt{1+p^2}$后，其几何意义为单位圆第一象限上的点到某一直线的距离不大于一变数，
存不存在任一$p$值，对应有一个$q$与之相配。
不懂$latex$
有没有几何意义，高手们帮忙，我想蒙了，……

7# yes94
是个好题，大家继续讨论，方法应该很多！
转化与化归 发表于 2013-4-20 13:04

方法应该很多？
楼主再搞几个方法呢？
下面给出一个方法：
必要性：
\[\begin{array}{l}
设f(\theta ) = \sin \theta  - p\cos \theta  - q,\\
可以验证：\frac{{\sqrt 2 }}{2}f(0) - f(\frac{\pi }{4}) + \frac{{2 - \sqrt 2 }}{2}f(\frac{\pi }{2}) = 1 - \sqrt 2 \\
由题意，\frac{{\sqrt 2  - 1}}{2} \geqslant |f(0)|,\frac{{\sqrt 2  - 1}}{2} \geqslant |f(\frac{\pi }{4})|,\frac{{\sqrt 2  - 1}}{2} \geqslant |f(\frac{\pi }{2})|\\
于是，\frac{{\sqrt 2  - 1}}{2}(\frac{{\sqrt 2 }}{2} + 1 + \frac{{2 - \sqrt 2 }}{2})\\ \geqslant |\frac{{\sqrt 2 }}{2}f(0)| + |f(\frac{\pi }{4})| + |\frac{{2 - \sqrt 2 }}{2}f(\frac{\pi }{2})|\\ \geqslant |\frac{{\sqrt 2 }}{2}f(0) - f(\frac{\pi }{4}) + \frac{{2 - \sqrt 2 }}{2}f(\frac{\pi }{2})|\\ = \sqrt 2  - 1\\
\sqrt 2  - 1 \geqslant |\frac{{\sqrt 2 }}{2}f(0)| + |f(\frac{\pi }{4})| + |\frac{{2 - \sqrt 2 }}{2}f(\frac{\pi }{2})| \\\geqslant |\frac{{\sqrt 2 }}{2}f(0) - f(\frac{\pi }{4}) + \frac{{2 - \sqrt 2 }}{2}f(\frac{\pi }{2})| = \sqrt 2  - 1\\
故|\frac{{\sqrt 2 }}{2}f(0) - f(\frac{\pi }{4}) + \frac{{2 - \sqrt 2 }}{2}f(\frac{\pi }{2})| =\sqrt 2  - 1
\\当且仅当f(0){\rm{ = }} - f(\frac{\pi }{4}){\rm{ = }}f(\frac{\pi }{2}){\rm{ = }}\frac{{1 - \sqrt 2 }}{2}取等号\\
解得p=-1,q=\frac{\sqrt2+1}2
\end{array}\]
充分性略去（估计原题不是错题吧？$p、q$是存在的吧？所以就略去充分性了）

13# yes94

一看就知道你又用 mathtype copy 出来的


___________
补充 PS、有点像那类二次函数绝对值问题的玩法……

14# kuing
本来想用latex的，但是latex的确难打，
最烦的是，汉字不能复制，还得重新在 草稿本上加了汉字。显得不爽

14# kuing
嘻嘻，k一下子就看出了，三次函数、四次函数等高次函数都可以这样玩

如果没有几何的解法，本题应该归入代数类型了

11# yes94
原式两边同除$sqrt{1+p_2}$后，其几何意义为单位圆第一象限上的点到某一直线的距离不大于一变数，
存不存在任一$p$值，对应有一个$q$与之相配。
不懂$latex$
有没有几何意义，高手们帮 ...
李斌斌755 发表于 2013-4-20 14:28

都就是少打了个 \   即\sqrt{1+p_2} 所以不显示。一般 根号，分式，函数名，向量等都需要加\表示数学公式开始。

论坛里打的公式就是以LaTeX为底层显示的，没什么的

14# kuing
本来想用latex的，但是latex的确难打，
最烦的是，汉字不能复制，还得重新在 草稿本上加了汉字。显得不爽
yes94 发表于 2013-4-20 14:53

已经安装了CTEX套装的，只需要在以下代码下输入中文与公式即可，在WinEd里，与论坛里帖子一样。

1. \documentclass{ctexart}
   
2. \usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
   
3. \begin{document}
   
4. 
   
5. 开始输入，汉字就打汉字，数学就打数学公式，就这么简单
   
6. 
   
7. \end{document}

复制代码

18# isea
在word里的aurora可以这样吗？aurora在word里不能输入汉字

19# yes94


我这里不能，不能加什么宏包，可能是字体设置的问题。

就是能加，也不建议，因为调整大小时麻烦。