[不等式] 另一个问题

设$a,b,c>0$ 且$a+b+c=3$,证明
\[ \frac{a}{a+bc}+\frac{b}{b+ac}+\frac{c}{c+ab}\geq\frac{3}{2} \]

There exist a nice CS proof!

it is not so difficult. i think.

2# zdyzhj


本来就不难，县长同志。

3# pxchg1200
县长难得发一次言啊！
一个类似不等式：
\[a,b,c > 0,a + b + c{\rm{ = }}3 \Rightarrow \frac{1}{{a + ab}} + \frac{1}{{b + bc}} + \frac{1}{{c + ca}} \geqslant \frac{3}{2}\]

4# yes94

这也用mathtype copy……一看等号就知道，你不觉得有些多余的代码么

________
补充 PS、这个显然简单太多了……

5# kuing
但是还是把$\ge$改成了$\geqslant$的，下次把rm删掉

4# yes94


只要最终显示效果的人，我看着这个的数学公式源代码都想吐血

3# pxchg1200
县长难得发一次言啊！
一个类似不等式：
\[a,b,c > 0,a + b + c{\rm{ = }}3 \Rightarrow \frac{1}{{a + ab}} + \frac{1}{{b + bc}} + \frac{1}{{c + ca}} \geqslant \frac{3}{2}\]
yes94 发表于 2013-4-20 22:59

我还以为你把主楼给解了

另外，我看着这些不等式都不一样，反正一个都不会，哈哈

特烦哪些流行的期刊，我的个天的，不知道有多少页都是不等式内容，于是，晕了一圈又一圈

6# yes94

只删 \rm 还不够，两边的 { } 也要删，a=b 与 a{=}b 是不一样的。

PS、还是不扯代码输入了，回正题吧。

3# pxchg1200
县长难得发一次言啊！
一个类似不等式：
\[a,b,c > 0,a + b + c{\rm{ = }}3 \Rightarrow \frac{1}{{a + ab}} + \frac{1}{{b + bc}} + \frac{1}{{c + ca}} \geqslant \frac{3}{2}\]
yes94 发表于 2013-4-20 22:59

$a + b + c = 3$

$a^2  + b^2  + c^2  \ge \frac{(a + b + c)^2 }{3} = 3$

$ab + bc + ca = \frac{(a + b + c)^2  - (a^2  + b^2  + c^2 )}{2} \le 3$

$\frac{1}{a + ab} + \frac{1}{b + bc} + \frac{1}{c + ca} \ge \frac{(1 + 1 + 1)^2 }{a + b + c + ab + bc + ca} \ge \frac{3}{2}$

10# 地狱的死灵
再来一个加强的：
\[a,b,c,k > 0\Rightarrow \frac1{ka + ab} + \frac1{kb + bc} + \frac1{kc + ca} \geqslant \frac3{k^3 + abc}\]

12# huyuhbb
11楼呢？

13# yes94


11楼不成立，Bottema给出了反例.

12# huyuhbb

突然发现跟这个很像http://kkkkuingggg.5d6d.net/view ... &page=2#pid9342

14# pxchg1200

大概还是有 a+b+c=3 的条件吧

14# pxchg1200
反例是什么？

17# yes94


\[ k=58,a=1,b=\frac{1}{521},c=\frac{1}{9}\]

15# kuing


哈哈，本来就是这样的。Vasc在好久以前就出了这个，最近被 arqady重新提起来了。

18# pxchg1200
但是有人证明出来了，发表在正规刊物上。
我没法算你的反例，数字太大了
能否搞一个小一点的反例？

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2013-4-22 22:53