树轮问题

一支数列$a_{n+1}=a_n+S(a_n),a_1=1$,$S(n)$表示$n$各个位数字和（$10$禁制不解释）。问题：$123456$是这个数列的项吗？

P.S： kuing酱能够首先独立就做出奖励萝莉一只！

好像太水。。

不是，$\{a_n\}$是模周期数列，模9，周期为6

Kuing没能第一个答出，喝哦嘿

4# Gauss门徒

你你你。。。趁我睡着觉才发题!

还错字dang呢! 又不选主题分类

模周期数列

8# 李斌斌755

大概就是除以9的余数是周期数列的意思

9# kuing

谢谢

树伦问题，田鼠问题

不是，$\{a_n\}$是模周期数列，模9，周期为6
hnsredfox_007 发表于 2013-4-18 08:12

只是猜想？能不能证明？

12# hongxian


可以啊
数学归纳法

猜的

12# hongxian


首先要知道一个事实：$a_n \equiv S({a_n}) \pmod{9}$

因为 $S(n)\equiv n\pmod9$，故若 $a_n\equiv k\pmod9$ 其中 $k\in\{0,1,2,3,4\}$，则 $a_{n+1}\equiv2k\pmod9$；
若 $a_n\equiv k\pmod9$ 其中 $k\in\{5,6,7,8\}$，则 $a_{n+1}\equiv2k-9\pmod9$。因 $a_1=1$，故
\begin{align*}
a_1&\equiv1\pmod9\\
a_2&\equiv2\pmod9\\
a_3&\equiv4\pmod9\\
a_4&\equiv8\pmod9\\
a_5&\equiv7\pmod9\\
a_6&\equiv5\pmod9\\
a_7&\equiv1\pmod9\\
&\vdots
\end{align*}
循环……

然后由于$a_1 \equiv 1 \pmod{9},a_2 \equiv 2 \pmod{9},a_3 \equiv 4 \pmod{9},a_4 \equiv 8 \pmod{9},a_5 \equiv 7 \pmod{9},a_6 \equiv 5 \pmod{9}$，猜想$a_{6n+k} \equiv a_k \pmod{9},k=1,2,3,4,5,6,n\in \mathbf{N}$。

16# hnsredfox_007


关键在$a_n \equiv S({a_n}) \pmod{9}$，谢谢了！

17# hongxian

嗯，通常扯到各位数字之和都自然会想到这一点……小学学回来的……

18# kuing

我可没学过，不过还是想通了！

类似题：

(9.71 KB)

2013-4-18 19:53