[不等式] $\sum$1/(1+x^2)>=3/2

已知$x,y,z$是非负实数，在条件$(1)x+y+z\leqslant3;(2)xy+yz+zx=3$下,分别证明：$$\sum_{cyc}\frac{1}{1+x^2}\geqslant\frac 3 2$$.

1# reny
当$x+y+z=3$时

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2013-4-17 22:00

2# yes94
en,取最小值应该就是在$x+y+z=3$时取得，之后还有凸凹不一致

切线法吧，$x=y=z=1$时取等号。

显然只要考虑 =3 的情形，切线法不是刚刚好吗

先证明$x>0$时$\dfrac{1}{1+x^2} \ge-\dfrac{1}{2}x+1$

上了kuing的论坛，不等式一直被虐，
这次终于可以轻松一下啦

7# yes94
哈哈,条件能否放宽松点

8# reny

新加的条件(2)显然不成，可以让两个元很大另一个很小，左边可以趋向1

9# kuing

但是非负实数$x,y,z$中有两个很大的话不满足$xy+yz+zx=3$吧？

10# reny

哦，我又发傻了。。。汗

那样应该是成立的……还两个取等条件……晚点再玩……

8# reny
改条件了嗦？
不让我轻松一下啊？
你的意思是条件（1）（2）是同时成立的？
还是分别成立？

13# yes94

他的意思当然是分别成立，但是在写法是当然不应该那样写。

设 $x$, $y$, $z\geqslant0$, $xy+yz+zx=3$，求证
\[\sum\frac1{1+x^2}\geqslant\frac32.\]

由对称性，不妨设 $x\leqslant y\leqslant z$，记 $p=y+z$, $q=yz$，则由条件易得 $1\leqslant q\leqslant 3$。

条件可以化为 $xp+q=3$，待证不等式容易化为
\[\frac1{1+x^2}+\frac{1-q^2}{p^2+(1-q)^2}\geqslant\frac12,\]
现在，固定 $q$，让 $p$ 减少，则 $x$ 变大，由 $q\geqslant 1$ 知上式左边关于 $p^2$ 递增，关于 $x$ 递减，故此，让 $p$ 减少时，上式左边也减少，从而只需证明 $x\leqslant y=z$ 时原不等式成立即可。

此时 $p^2=4q$, $x^2=(3-q)^2/(4q)$，代入后作差分解等价于
\[\frac{3(3-q)(1-q)^2}{2(q+1)(q^2-2q+9)}\geqslant 0,\]
显然成立，当 $q=1$ 或 $q=3$ 时取等，故此原不等式有两个取等条件，即 $x=y=z=1$ 和 $x=0$, $y=z=\sqrt3$ 及其轮换。

15# kuing
这种代换、固定变量、看单调性（减元），学习中...

15# kuing

额，还是来柯西一下吧。
注意到不等式等价于
\[ \frac{x^2}{1+x^2}+\frac{y^2}{1+y^2}+\frac{z^2}{1+z^2}\leq \frac{3}{2}\]
就是
\[ \sum{\frac{3x^2}{3x^2+xy+yz+xz}}\leq \frac{3}{2}\]
由Cauchy-Schwarz
\[ \frac{4x^2}{3x^2+xy+yz+xz}\leq \left(\frac{x^2}{2x^2+yz}+\frac{x^2}{x(x+y+z)} \right)\]
所以，只要证明
\[ \sum{\frac{x^2}{2x^2+yz}}\leq 1 \]
也就是
\[ \sum{\frac{yz}{2x^2+yz}}\geq 1 \]
再次运用Cauchy-Schwraz.我们有
\[ \sum{\frac{yz}{2x^2+yz}}\geq \frac{(xy+yz+xz)^2}{\sum{x^2y^2}+2xyz(x+y+z)}=1 \]
由此，不等式得证。

17# pxchg1200

牛比，你用CS比我灵活……

18# kuing


运气好而已。

19# pxchg1200

别谦虚了，这种运气也是需要实力的，感觉越好，运气也越好……