绝对值求和的 最大值 及个数

题：设$\tau=(x_1,x_2,\cdots,x_{10})$是数$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$的任意一个全排列，定义$S(\tau)={\displaystyle\sum_{k=1}^{10}\lvert 2x_k-3x_{k+1}\rvert}$，其中\(x_{11}=x_1\)。
（Ⅰ）若$\tau=(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)$，求\(S(\tau)\)的值；
（Ⅱ）求$S(\tau)$的最大值；
（Ⅲ）求使$S(\tau)$达到最大值的所有排列 的个数。

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个人觉得，有点意思，第二问想不明白，特发来向大家学习。

感谢，先，依然附上图片版。

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2013-4-15 23:20

最大值=131
个数720

2# 李斌斌755

此是北京朝阳今年理科一模最后一题，标答结果最大值131（楼上完全正确，请教啊！），个数28800（楼上有遗漏）；
为不影响大家思路，稍后几天帖标答

以前见过战巡解过这类题，把绝对值符号去掉，其和$=-55$，即$\sum_{k=1}^{10}(2x_k-3x_{k+1})=-55$
设\[2x_k-3x_{k+1}=b_k\]                                                                    $(k=1,2,\cdots,10)$
假设${b_k}$非正数项有\[b_i\]
则${b_k}$正数项只有\[b_j\]其中$\{i\}\cap\{j\}=\varnothing,\{i\}\cup\{j\}=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$
得  $\sum_{k=i}b_k+\sum_{k=j}b_k=-55$                             
而$(\sum_{k=j}b_k)_{\max}\\=2\times10-3\times1+2\times9-3\times2+2\times8-3\times3+2\times7-3\times4\\=38$          （1）
由（1）有
       $（\sum_{k=i}b_k)_{\min}\\=-55-38\\=-93$                     
故$(\sum_{k=i}b_k)-(\sum_{k=j}b_k)=-131$

第三问不就是数字（10,1）；（9,2）；（8,3）；（7,4）；（5）；（6）的排列吗？

5# 李斌斌755
漏了数对可以分列两头。

6# isea
刚学

8# 李斌斌755


大家都一样，慢慢来，就是要点耐心，刚输入的公式不要特别长，如果长了，错了的时候刚开始分辨不出哪儿出错了。

kuing 弄的这个，1到2楼已然非常完整了，入门
http://kkkkuingggg.5d6d.net/thread-9-1-1.html

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学会LaTex代码还有一个好处，就是MathType 6.0后支持TeX代码输入，不过，需要手动开启，如图——

9# isea
谢谢，kuing一直帮忙，进步太慢

看了标答才知道，数对只要7、8、9、10与1、2、3、4搭配（大数在前）都行，
如 $2\times9-3\times1+2\times10-3\times4+2\times8-3\times3+2\times7-3\times2\\=2\times（7+8+9+10）-3\times（1+2+3+4）\\=38$
这样一来，这样的数对有$C_4^1C_3^1C_2^1=24$组
一组有$P_6^6+4P_5^5\\=720+480\\=1200$
共有$1200\times24=28800$

数字相乘怎样操作？

数字相乘怎样操作？
李斌斌755 发表于 2013-4-16 16:38

另外 x 乘号 \times ，效果 $2\times 3$。\div 除号，$2\div 3$

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这公式越长，可以用\\人为断行，如
2\times9-3\times1\\+2\times10-3\times4\\+2\times8-3\times3\\+2\times7-3\times2\\=2（7+8+9+10）-3（1+2+3+4）=38
效果
$2\times9-3\times1\\+2\times10-3\times4\\+2\times8-3\times3\\+2\times7-3\times2\\=2（7+8+9+10）-3（1+2+3+4）=38$

13# isea

12# 李斌斌755

置顶写得不够清楚么……

15# kuing
我没看到正负号的情况

17# 李斌斌755

浏览器有种功能叫查找……

16# isea
$b_k$的值可能是正数,、负数或0，加了绝对值后为正数或0，但去掉绝对值后它们的算术和为-55。
如a+5=-3有a=-8有$|a|+|5|=13$
即$a\ge0,b\ge0$
a-b=定值
求a+b的最大值
由a+b=定值$\implies$  $a=a_{max}$  时  $b=b_{max}$   $\implies$$(a+b)_{max}$=$a_{max}+b_{max}$

10# 李斌斌755
李斌很擅长图形，这次还很擅长抽象的代数！

20# yes94

我到是想将$z=2x-3y$转化成为平面内10个整数点$(x,y)(0<x,y\le10,x,y\in \mathbf{N})$到向量$\vv {OA}=(2,-3)$的距离之和，倒是无果。

23# isea

题设没有大于零啊
笔误 是
\[2x_k－3x_{k+1}=b_k\]
已修改