来个极限吧

证明
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}{\left[\sqrt[n+1]{(n+1)!}-\sqrt[n]{n!}\right]}=\frac{1}{e} \]

Let's solution say the method!

kuing

管理员

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2^#

发表于 2013-4-10 14:26

差点以为是取整……

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
现状：冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做！（粤语）

isea

论坛元老

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3^#

发表于 2013-4-10 20:42

本帖最后由 isea 于 2013-4-10 20:51 编辑

这个方括号的确不太“美”好

不过，命题，美

偶这个都搞不定：$\displaystyle \lim_ {n\to\infty} {\frac {\sqrt[n]{n!}}n}$

n\to\infty下标，汗

数学公式终极编辑器：Aurora，基于LaTeX；
$\LaTeX$，若习惯命令一定顺手

地狱的死灵

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4^#

发表于 2013-4-10 21:26

\begin{array}{l}
&\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt[n]{{n!}}}}{n} \\
& = e^{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n}\ln \frac{{n!}}{{n^n }}}  \\
& = e^{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\ln \frac{i}{n}} }  \\
& = e^{\int_0^1 {\ln xdx} }  \\
& = \frac{1}{e} \\
\end{array}

pxchg1200

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5^#

发表于 2013-4-12 13:39

本帖最后由 pxchg1200 于 2013-4-12 13:42 编辑

4# 地狱的死灵

楼上用O.Stolz定理还需要验证那个极限是存在的。
西哥表示有
\[ \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}<\sqrt[n+1]{(n+1)!}-\sqrt[n]{n!}<\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n} \]
可以AM-GM,可是我只AM-GM出右边那一半，左边弄不出。。

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pxchg1200

金牌会员

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帖子: 427

6^#

发表于 2013-4-19 23:19

4# 地狱的死灵

TechPaperFurdui.pdf (95.52 KB)

下载次数: 7

2013-4-19 23:19

找到篇文章证递减的。

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