悠闲数学娱乐论坛 » 初等数学讨论 » 平面上任意六个格点不能连成正六边形

管理员

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1^#

发表于 2011-10-22 15:39

平面上任意六个格点不能连成正六边形

求证：平面上任意六个格点不能连成正六边形。

为方便叙述，我们称所有顶点都在平面格点上的正n边形为“正格点n边形”。
首先有如下显然的事实：以任意两格点的连线为边长向某方向作一正方形，则该正方形的另个两个顶点仍然是格点。
格点正六边形1.png

格点正六边形1.png

(4.95 KB)

2011-10-22 15:39

其次，我们假设存在正格点6边形。那么以正格点6边形的某边为边长向内作的正方形两顶点也是格点。
格点正六边形2.png

格点正六边形2.png

(8.44 KB)

2011-10-22 15:39

我们依次对6条边都这样操作，得到如下图形
格点正六边形3.png

格点正六边形3.png

(32.73 KB)

2011-10-22 15:39

于是显然上图中间连结的6边形仍然是正格点6边形且比原6边形要小，这说明每个正格点6边形总存在比其更小的正格点6边形，这显然矛盾，因为如果存在正格点6边形，必定有最小者。

依此证法，我们还可以证明不存在正格点n边形（$n\geqslant5$），而正格点三角形的不存在则可以通过如下图形说明。
格点正六边形4.png

格点正六边形4.png

(18.07 KB)

2011-10-22 15:51

由蓝色的正格点三角形通过作正方形得出更小的红色的正格点三角形。
因此综上所述，正格点n边形的解只有 $n=4$。

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
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2^#

发表于 2011-10-22 15:59

我的考试题，试卷我找到了

管理员

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3^#

发表于 2011-10-22 16:03

2# 图图

是，刚才想起，想到。
不知参考答案是否一样。

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4^#

发表于 2011-10-22 16:07

3# kuing

试卷没有分析

管理员

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5^#

发表于 2011-10-22 16:11

这个证法没问题吧？

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6^#

发表于 2011-10-22 16:15

看看

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7^#

发表于 2011-10-22 16:16

5# kuing

应该没有

GAM

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8^#

发表于 2011-10-22 22:01

论坛元老

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9^#

发表于 2011-10-25 11:30

很有意思的题目，曾经有一道题是正三角形三个顶点不能同时落到什么上的，一时忘记了。

管理员

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10^#

发表于 2011-10-25 11:31

9# isea

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11^#

发表于 2011-11-2 18:28

看看

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12^#

发表于 2011-11-2 18:31

无穷递降法

管理员

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13^#

发表于 2011-11-2 18:33

12# 海盗船长

嗯，就是这种思想，不过以前只在数论里听说过。。。。。

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14^#

发表于 2012-8-12 21:50

哈

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15^#

发表于 2012-8-12 22:00

14# 哆啦a

梦

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16^#

发表于 2012-8-21 14:07

看看

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17^#

发表于 2012-8-21 14:12

绝妙

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18^#

发表于 2012-8-21 17:18

学习，一定要看

叶剑飞Victor

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19^#

发表于 2012-8-22 15:44

应该可以证明格点无法组成$120^\circ$角吧。

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20^#

发表于 2012-8-22 17:48

19# 叶剑飞Victor

嗯应该可以