[不等式] 解题群看到一个

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2013-3-25 15:24

作换元$y_i=\log_3x_i,i=1,2,3,4,5$.
问题就为$y_1,y_2,y_3,y_4,y_5\ge0,y_1+y_2+y_3+y_4+y_5=6$,求max{$y_1+y_2,y_2+y_3,y_3+y_4,y_4+y_5$}的最小值.
似乎记得讨论过类似问题.不幸又不会了.

像这样：http://bbs.pep.com.cn/thread-515623-1-1.html

PS、\max\{...\}

直观想想,要使得整体最小,如果$y_1+y_2$比其他大,那么就减小这个量,把减小部分分到其他量上,直至max{}内的4个量值都一样大.
怎么凑个证明呢?

2楼的解法惊艳，
继续3楼的思路，假设取最小时候，$\max\{\}$内四个变量不等，
若$y_1+y_2>m=\max\{y_2+y_3,y_3+y_4,y_4+y_5\}$
         当$y_2>0$时,(略微减小$y_2$的值.)令$y'_2=\min\{\frac{y_2}{2},\frac{y_1+y_2-m}{2}\},记t=y_2-y'_2,y'_i=y_i+0.25t,i=2,3,4,5$,此时,$\max\{y_1+y_2,y_2+y_3,y_3+y_4,y_4+y_5\}>\max\{y'_1+y'_2,y'_2+y'_3,y'_3+y'_4,y'_4+y'_5\}$,这与假设矛盾.
         当$y_2=0$时,(略微减小$y_1$的值.)
貌似也可行,但讨论的情况,即使去掉利用对称,还是很多.

问题如果改为,就为$y_1,y_2,y_3,y_4,y_5\ge0,y_1+y_2+y_3+y_4+y_5=6$,求$\max\{3y_1+y_2,2y_2+4y_3,y_3+3y_4,y_4+5y_5\}$的最小值.
如何?数据胡乱写的,可以按需要修改.

楼主给个原题答案啊？

6# yes94

原题照2#链接的方法照葫芦画瓢……

系数推广未研究过……

7# kuing
我的意思是，我想给个另解（和你的有些不同），但怕答案错了出丑，现在做题随心而欲，难以静下心来了

8# yes94

……照写就是了……

顶楼这个转化真心赞，这都能想到，2楼链接k的解法，因曾经在这里问过类似的东东，转化为不等式，一点都不奇怪呢

如果不转化，就用原题，是否能从积的不等式出发？随口说说

我按2楼的方法，试试，看看结果，先

$9\cdot1\cdot9\cdot1\cdot9=729,\max\{9,9,9,9,9\}$

顶楼这个转化真心赞，这都能想到，2楼链接k的解法，因曾经在这里问过类似的东东，转化为不等式，一点都不奇怪呢

如果不转化，就用原题，是否能从积的不等式出发？随口说说

我按2楼的方法，试试，看看结果，先
isea 发表于 2013-3-25 23:00

会作那个转化，明显是因为楼主见过和的情形，所以我觉得那很正常。
那个换元不改变本质，所以我可以肯定地说：不换元一定可以（也就是你说的“从积的不等式出发”一定可以），将我链接里那些不等式里全改成积即可，不用试也知道

实际上也无需换元，一头一尾添个$M$大于等于$x_{1}$,M大于等于$x_{5}$不等式相乘.

答案因该是9!

会作那个转化，明显是因为楼主见过和的情形，所以我觉得那很正常。
那个换元不改变本质，所以我可以肯定地说：不换元一定可以（也就是你说的“从积的不等式出发”一定可以），将我链接里那些不等式里全改成积即 ...
kuing 发表于 2013-3-25 23:03

明白了

kuing在这里的解法抄下来(搞成代码)：http://bbs.pep.com.cn/thread-515623-1-1.html
非负实数$a,b,c,d,e,f,g$满足$a+b+c+d+e+f+g=1$, 求$\min\{\max\{a+b+c, b+c+d, c+d+e, d+e+f, e+f+g\}\}$.
则记 $K=\max\{a+b+c, b+c+d, c+d+e, d+e+f, e+f+g\}$, 则有
$K\geqslant a$,
$K\geqslant a+b$,
$K\geqslant a+b+c$,
$K\geqslant b+c+d$,
$K>=c+d+e$,
$K\geqslant d+e+f,$
$K\geqslant e+f+g,$
$K\geqslant f+g,$
$K>=g,$
将它们全部相加, 得到
$9K\geqslant 3,$
即 $K\geqslant \dfrac13,$
而当 $a=d=g=\dfrac13, b=c=e=f=0 $时$K=\dfrac13$, 故$K$的最小值为$\dfrac13$, 即
$\min\{\max\{a+b+c, b+c+d, c+d+e, d+e+f, e+f+g\}\}=\dfrac13$.

15# yes94
kuing用了$9$个不等式相加，肯定把很多人都吓住了，下面只用$3$个不等式就可以了。
记 $K=\max\{a+b+c, b+c+d, c+d+e, d+e+f, e+f+g\}$, 则有
$K\geqslant a+b+c$,
$K\geqslant d+e+f,$
$K\geqslant e+f+g\geqslant g,$
  将以上三式相加, 得到
$3K\geqslant a+b+c+d+e+f+g=1$
即 $K\geqslant \dfrac13,$
而当 $a=d=g=\dfrac13, b=c=e=f=0 $时，$K=\dfrac13$, 故$K$的最小值为$\dfrac13$, 即
$\min\{\max\{a+b+c, b+c+d, c+d+e, d+e+f, e+f+g\}\}=\dfrac13$.

15# yes94

还是有两个 >= 没改过来……
其实这个情形应该用替换功能嘛……

16# yes94

嗯，很好……

其实我可不可以说用9个不等式还是更有型

答案因该是9!
pengcheng1130 发表于 2013-3-25 23:07

彭老师给出了答案，我就敢放心做啦！
主要是现在做题常常静不下心来了，有时也出错。
设$M=\max\{x_1x_2,x_2x_3,x_3x_4,x_4x_5\}$，则
$M\geqslant x_1x_2$,
$M\geqslant x_3x_4$,
$M\geqslant x_4x_5\geqslant x_5 $,
以上三式相乘得，
$M^3\geqslant x_1x_2x_3x_4x_5=729$,
于是，$M\geqslant9$
当$x_1=9,x_2=1,x_3=9,x_4=1,x_5=9$可取等号。

的确kuing的9个不等式很大胆！谁有信心搞出9个不等式？只有kuing！独此一家！

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的确kuing的9个不等式很大胆！谁有信心搞出9个不等式？只有kuing！独此一家！
yes94 发表于 2013-3-25 23:31

你又夸张了