千变万幻 2013-3-15 23:57:45
$a_1$, $a_2$, $a_3>0$, $a_1+a_2+a_3=1$, $0<\lambda_1<\lambda_2<\lambda_3$，求证
\[(a_1\lambda_1+a_2\lambda_2+a_3\lambda_3)\left(\frac{a_1}{\lambda_1}+\frac{a_2}{\lambda_2}+\frac{a_3}{\lambda_3}\right)\leqslant\frac{(\lambda_1+\lambda_3)^2}{4\lambda_1\lambda_3}.\]
我们把左边看成 $\lambda_2$ 的函数，显然是下凸的，所以可以考虑 $\lambda_2$ 为 $\lambda_1$ 或 $\lambda_3$ 时的式子，而这两种情形不难发现等价于完全平方式，再利用定比分点，经过一些计算，最终可以得到如下恒等式：
\begin{align*}
& \frac{(x+z)^2(a+b+c)^2}{4xz}-(ax+by+cz)\left( \frac ax+\frac by+\frac cz \right) \\
={}&\frac{(x-z)^2}{4xz}\left( \frac{z-y}{z-x}(a+b-c)^2+\frac{y-x}{z-x}(c+b-a)^2 \right)+\frac{b(z-y)(y-x)(ax+cz)}{xyz}
\end{align*}
嗯，我为了方便书写，将 $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\lambda_3$ 分别写成了 $a$, $b$, $c$, $x$, $y$, $z$。
是不是有点 JiChen 的感觉
PS、由此可见原题的等号取不到，除非可以让 $a$, $b$, $c$ 为 $0$，那么 $a=c=1/2$, $b=0$ 时取等。
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发表于 2013-3-16 08:52
发表于 2013-3-20 22:30
