如何证明$\sin 1^\circ$ 为无理数

RT
$\cos 1^\circ$ 呢？

先搞 cos 的。
设 $n\in\mbb N$，注意到 $\cos nx=T_n(\cos x)$ 其中 $T_n(x)$ 为第一类切比雪夫多项式，所以假如 $\cos1^\circ$ 为有理数，那么 $\cos n^\circ$ 都为有理数，这显然与事实不符，从而 $\cos1^\circ$ 必无理数。
此外，由 $T_{60}(\cos1^\circ)=\cos60^\circ=1/2$，所以 $\cos1^\circ$ 不是超越数。

2# kuing
$\cos1^\circ$是代数数？

3# yes94

是啊，上面不是说了么，是多项式 $2T_{60}(x)-1=0$ 的根，所以是代数数

假设$\cos1^\circ$为有理数,那么由二倍角公式,$\cos2^\circ$也为有理数,由三倍角公式,$\cos6^\circ$也为有理数,依次$\cos12^\circ,\cos36^\circ$都为有理数.
而$\cos36^\circ$是无理数(可百度).如此假设错误,也即$\cos1^\circ,\cos2^\circ$为无理数.
假设$\sin1^\circ$为有理数,那么由二倍角公式,$\cos2^\circ$为有理数,矛盾.所以$\sin1^\circ$也为无理数.
代数数也成立,就三次,二次方程的实数根,依次倒推下来.(另:加个5倍角公式,就可以从$\sin 30^\circ,\cos 60^\circ$倒推下来.)

5# realnumber

nice

PS、“度”用代码打跟你通过输入法打出来那个有区别
PS2、让我考虑一下要不要新定义一个自定义命令来简化“度”的输入呢？

6# kuing
修改好了

实际上和数学帝葛军的命制那道高考题有关。

这个问题是由$\tan 1^\circ$联想开的。

涉及级数或者高等数学的，这里就略过了。

$\cos36^\circ$是无理数，这里未有过程，也未百度，期待一下，初等方法。

9# isea

$\cos36^\circ=2\cos^218^\circ-1$, $\cos54^\circ=4\cos^318^\circ-3\cos18^\circ$
相加

$36^\circ,72^\circ,72^\circ$,底角作个垂直平分线,如此根据三角形相似,得出底边和腰的比例,再作条底边上的高就得出...
是某一文上看到的,例举了好几个办法,人教的何版应该很熟的,可惜他似乎不来这里.

11# realnumber
那个求$\cos36^\circ$的题方法至少三种：
一种就是你说的构造等腰三角形，用几何方法（和黄金分割有关）
一种是三倍角公式；
一种是$\cos36^\circ+\cos72^\circ$等等的计算吧

...,人教的何版应该很熟的,可惜他似乎不来这里.
realnumber 发表于 2013-3-2 07:35

估计他应该在忙着搞研究、写文档以及他自己的事情，偶尔在群里冒泡，已经不见他去哪个论坛了。

PS、我还是决定增加“度”的自定义命令，请留意置顶贴。

葛军的题就是：如果$\cos A$是有理数，那么$\cos nA$是有理数，显然$\cos30\du$是无理数，故$\cos1\du$是无理数，kuing证明了 它是代数数，非超越数。

$\sin m,\cos m,m\in (0,\frac{\pi}{2}) 且 m\in Q$是无理数,是否成立,怎么证明.

$\sin m,\cos m,m\in (0,\frac{\pi}{2}) 且 m\in Q$是无理数,是否成立,怎么证明.
realnumber 发表于 2013-3-2 16:32

语句表达换一下比较好：
设 $m\in (0,\frac\pi2)$ 且 $m\in\mbb Q$，则 $\sin m$ 和 $\cos m$ 都是无理数。是否成立，怎么证明？

PS、感觉上成立

$\sin m,\cos m,m\in (0,\frac{\pi}{2}) 且 m\in Q$是无理数,是否成立,怎么证明.
realnumber 发表于 2013-3-2 16:32

$m$是角度制（度数）还是弧度制？
猜测你从$\cos 1\du$推广成有理度数的，所以认为你说的$m$是角度制。
但是，你也可能见到我的留言后会说是弧度制。

没所谓啦，kai 放 xing 问题，随意随意，能玩出任何结论来都是好事。

17# yes94
弧度吧,虽然分数度即使成立,表达也许会烦琐点.

19# realnumber
$m\in (0,\frac{\pi}{2}) 且 m\in Q$,则$\sin m,\cos m$是无理数.
猜测个解决方向
设$m=\frac{q}{p},p,q\in N^+$,$\cos 1$与$\cos q$,用$q$倍角联系起来,$\cos q$与$\cos m$用$p$倍角公式联系起来.还要处理$\cos 1$.(这样看起来,倒还是角度可能容易点,还是按k提议,哪个会有什么结论就哪个.)