18# abababa

用 $\gamma$ 那个也不是等号吧

呵呵，其实是昨天问了网友，然后我下线没看到他发的解答，中午收到了离线消息看到了，但他不打latex代码，我匆忙间打的有很多问题，第一个>左边那个求和也错了，是隔1才加的，偶数分母不加，他的解答没这么写，我却都给加上了。

不过觉得那证明还是有问题，当$n \to \infty$时才有那个式子，有限项就不管用了。

发个标答吧！
容易证明$$\ln x<\frac{1}{2}(x-\frac{1}{x})$$
令$x=\frac{2k+1}{2k-1}$有
$$\ln \frac{2k+1}{2k-1}<\frac{1}{2}(\frac{2k+1}{2k-1}-\frac{2k-1}{2k+1})$$
即$$\ln (2k+1)-\ln (2k-1)<\frac{4k}{4k^2-1}$$
所以$$\sum_{i=1}^n\frac{4i}{4i^2-1}>\ln (2n+1)$$

PS：也可用数学归纳法

$$\gamma$$指欧拉常数吗？

23# yayaweha

ln 前面加个反斜杠，thanks

24# yayaweha

是的

25# kuing


怎么加？

27# yayaweha

(1.64 KB)

2013-3-1 23:35

发一位网友的解答
$1+2(\sum_{i=3}^{2n-1}\frac{1}{i})+\frac{1}{2n+1}>\\
-\frac{1}{2}+\sum_{i=1}^{2n+1}\frac{1}{i}=-\frac{1}{2}+\ln (2n+2)+\gamma>\ln(2n+2)>\ln(2n+1)$
abababa 发表于 2013-3-1 13:34

这里的常数指欧拉常数？

应该是

类似的题参考2012天津高考

楼主有不等式：$\sum_{k=1}^{n}\frac{4k}{4k^2-1}>\ln(2n+1)$，
那么下述不等式是否成立（原不等式的反向）？若成立请证明：
$\sum_{k=1}^{n}\frac{4k}{4k^2-1}<1+\dfrac12\ln(2n+1)(2n+3)$