[不等式] 有ln的常见不等式

$$\sum_{i=1}^{n}\frac{4i}{4i^2-1}>ln(2n+1)$$这个我考试时放不出来，求指导

好像也不难！$$\frac{4n}{4n^2-1}=\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n-1}$$
$$\frac{1}{2n+1}>\frac{1}{2}(ln(2n+3)-ln3),\frac{1}{2n-1}>\frac{1}{2}ln(2n+1)$$

怎么考试就想不出来

2# yayaweha [


好像还是不对

2# yayaweha
按这个拆法
左边你先n=1,2,3,写几个,再化简下,其实都快完成了

5# realnumber


什么意思？
你来演示一下

\[\sum_{i=1}^{n}\frac{4i}{4i^2-1}=(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\ldots+\frac{1}{2n+1})+(1+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{2n-1})>1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{2n}>\ln(2n+1)-\ln1\]
可用导数证明
\[\frac{1}{k}\ge \ln(k+1)-\ln(k)=\ln(1+\frac{1}{k})\iff x\ge \ln(1+x)\]
由9楼提示,已经修改

上面的证明应该有问题吧

7# 最后的 $\dfrac1{2n+1}$ 改成  $\dfrac1{2n}$ 就可以了

第一个不等式中的1/2是怎么放出来的？

10# liaoyouyu07
你说得对,7楼还是错了,继续想

才发现……那往后放如何……

\[(\frac{\ln(2x+1)}{2})'=\frac{1}{2x+1}\]
\[有\frac{1}{2n+1}\ge \frac{1}{2}\ln(1+\frac{2}{2n+1})=\frac{\ln(2n+3)}{2}-\frac{\ln(2n+1)}{2}\]
\[所以1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\ldots+\frac{1}{2n-1}>1+\frac{1}{3}+\frac{\ln(2n+1)}{2}-\frac{\ln5}{2}\]
\[\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\ldots+\frac{1}{2n+1}>\frac{1}{3}+\frac{\ln(2n+3)}{2}-\frac{\ln5}{2}\]
----两式相加,就可以了.

13# realnumber


比我高明，在于前两项没放

这个证明方法很不错，赞一个！

也可以写成这样:
\[1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\ldots+\frac{1}{2n-1}>1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\ldots+\frac{1}{2n}\]
\[那么原式左边>1+\frac{2}{3}+(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\ldots+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1})>1+\frac{2}{3}+\ln\frac{1}{2n+2}-\ln5>\ln(2n+1)\]

用对应项也可以做，不过有点麻烦。
话说标答是怎样的？

发一位网友的解答
$1+2(\sum_{i=3}^{2n-1}\frac{1}{i})+\frac{1}{2n+1}>\\
-\frac{1}{2}+\sum_{i=1}^{2n+1}\frac{1}{i}=-\frac{1}{2}+\ln (2n+2)+\gamma>\ln(2n+2)>\ln(2n+1)$

18# abababa
引用了一个常数$\gamma$

19# yes94
其实不引用也可以,只需去掉,并把"="修改为">".