[函数] 一道函数题

若不等式$\Large(1+\frac{1}{n})^{n+a}\ge e$对任意的$n\in N^*$都成立，求常数$a$的最小值。

好像在哪儿见过……有没有出处dǎng在……

出处很正规，高三考试题

3# yayaweha

那种很难想的所谓高中标准解法我如无意外是想不到的了，只懂用野猪在网刊写的那种，先求极限找必要条件再验证充分性……

4# kuing

具体简单来说就是取对数等价于
\[a\geqslant \frac1{\ln (1+1/n)}-n,\]
求极限有
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty}\left( \frac1{\ln (1+1/n)}-n \right)&=\lim_{x\to0^+}\left( \frac1{\ln (1+x)}-\frac1x \right) \\
& =\lim_{x\to0^+}\frac{x-\ln (1+x)}{x\ln (1+x)} \\
& =\lim_{x\to0^+}\frac{1-1/(1+x)}{x/(1+x)+\ln (1+x)} \\
& =\lim_{x\to0^+}\frac1{1+\ln (1+x)^{1/x}+\ln (1+x)} \\
& =\frac12,
\end{align*}
所以必须有 $a\geqslant1/2$，然后验证 $a=1/2$ 时原式递减，这是容易的。

5# kuing


额，你跟标准答案80%相似

这尼玛也是高中题了。。。。。。。。。。。。

7# Tesla35


嘿呀！2013广东六校联考

6# yayaweha

really??!! 贴来看看

9# kuing


http://wenku.baidu.com/view/d609370bde80d4d8d15a4f67.html

我考试时没做出来

10# yayaweha

差很远好吧……他那种是先找出充分条件，再证明必要性（也就是最后面那部分证明）……绕过了求极限，但是很麻烦很难想。

解法二用了咯必答求极限

12# yayaweha

那个解法二我想应该不是标答来的，标答会出现洛必达？

是呀是标答，我们老师都没讲

就是泰勒公式：
$\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+0(x^2)$，或者干脆$\ln(1+x)$ ~ $x-\dfrac{x^2}{2}$
那么，$\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty}\left( \frac1{\ln (1+1/n)}-n \right)&=\lim_{x\to0^+}\left( \frac1{\ln (1+x)}-\frac1x \right) \\
& =\frac12,
\end{align*}$

15# yes94

习惯用洛了，展开式用得少……

PS、
是 O(x) 不是 0(x) 吧；
~ 可以用 \sim ，就不用断开写了；
用环境可以两边不加 $ 就会居中显示

考试时,那么点时间算算都不够~~

16# kuing
重新打试一试：
泰勒公式：
$\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+O(x^2)$，或者干脆$\ln(1+x)\sim x-\dfrac{x^2}{2}$
那么，\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty}\left( \frac1{\ln (1+1/n)}-n \right)&=\lim_{x\to0^+}\left( \frac1{\ln (1+x)}-\frac1x \right) \\
& =\frac12,
\end{align*}
但是那个“代码基本输入首页”没看见\sim符号？
如果在证明，$\dfrac12$是一个上界的话就好了，即证$\dfrac12>\dfrac1{\ln (1+1/n)}-n$，
那么$\dfrac12$就是一个上确界。
PS：一眼可以看出$a\leqslant0$是不行的，因为$(1+\dfrac1n)^n<e$。
第一感觉是$a\geqslant0$，结果是错的！所以几秒钟猜的答案不可靠啊！
此题原来背景是$\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+O(x^2)$，如果再难点，还可以搞个$O(x^3)$出来！

18# yes94

...
但是那个“代码基本输入首页”没看见\sim符号？
...
yes94 发表于 2013-2-13 13:46

嗯，忘记加，去更新一下先，顺便想起全等也没弄……

泰勒公式对高考有帮助吗？