[几何] 如何判断空间法向量的方向

空间法向量的题我会做，但是我不知道n=（X1，Y1，Z1） 的方向和它的正负号！

这类问题似乎也算是FAQ，当年在人教论坛收藏了几个贴子
http://bbs.pep.com.cn/thread-372369-1-1.html
http://bbs.pep.com.cn/thread-263239-1-1.html
http://bbs.pep.com.cn/thread-421574-1-1.html

话说收藏的那几个贴子其实一直没细看过，刚才看了看，也有点乱，有的图片也显示不出来，还是自己想了一下，其实用向量叉乘就可以很容易解决这些问题，因为叉乘就已经规定了方向，就不会出现现在那样的利用两个数量积为0而解出两个方向的法向量之后还要判断什么相等还是互补的麻烦事。

简单来说，先来看看平面上的四点，$A$, $B$, $P$, $Q$，其中 $P$, $Q$ 在直线 $\ell$ 上，且 $A$ 和 $B$ 在 $\ell$ 的异侧，由叉乘方向的规定可知，向量 $\vv m=\vv{PA}\times\vv{PB}$ 与 $\vv n=\vv{QA}\times\vv{QB}$ 的方向相反，即 $\bigl\langle\vv m,\vv n\bigr\rangle= 180^\circ$。

现在，以 $\ell$ 为界，将其中一边的半平面折起来，比如说将 $P$ 所在的那半平面折起，此时 $\vv m$ 也跟着绕 $\ell$ 旋转，而显然该半平面折起多少度，$\vv m$ 也旋转多少度，因此总有 $\bigl\langle\vv m,\vv n\bigr\rangle=\text{二面角}~P\text{-}AB\text{-}Q$。

注意一下，向量叉乘是有顺序讲究的，不满足交换律，$\vv a \times \vv b = -\vv b \times \vv a$，所以上面的顺序不要乱调，要调就两边同时调。

讲开又讲，一直不明白为什么高中教向量点乘但不教叉乘，明明是一对的……很多问题用叉乘解决很方便，点乘叉乘一起用更是有力的工具……

试试写个具体计算表达式出来，方便以后用。
$\newcommand{\relph}[1]{\mathrel{\phantom{#1}}}$
接着3#，有
\[\text{二面角}~P\text{-}AB\text{-}Q=\bigl\langle\vv m,\vv n\bigr\rangle=\arccos\frac{\vv m\cdot\vv n}{\bigl|\vv m\bigr|\cdot\bigl|\vv n\bigr|},\]
设 $A(x_A,y_A,z_A)$, $B(x_B,y_B,z_B)$, $P(x_P,y_P,z_P)$, $Q(x_Q,y_Q,z_Q)$，则有
\begin{align*}
\vv m\cdot\vv n&=\bigl(\vv{PA}\times\vv{PB}\bigr)\cdot\bigl(\vv{QA}\times\vv{QB}\bigr)\\
&=\begin{vmatrix}
\vv{PA}\cdot\vv{QA} & \vv{PA}\cdot\vv{QB}\\
\vv{PB}\cdot\vv{QA} & \vv{PB}\cdot\vv{QB}\\
\end{vmatrix}\\
&=\sum_{x,y,z}(x_P-x_A)(x_Q-x_A)\sum_{x,y,z}(x_P-x_B)(x_Q-x_B)\\
&\relph{=}{}-\sum_{x,y,z}(x_P-x_A)(x_Q-x_B)\sum_{x,y,z}(x_P-x_B)(x_Q-x_A),
\end{align*}
以及
\begin{align*}
\bigl|\vv m\bigr|&=\sqrt{\begin{vmatrix}
y_P-y_A & z_P-z_A\\
y_P-y_B & z_P-z_B
\end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix}
z_P-z_A & x_P-x_A\\
z_P-z_B & x_P-x_B
\end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix}
x_P-x_A & y_P-y_A\\
x_P-x_B & y_P-y_B
\end{vmatrix}^2},\\
\bigl|\vv n\bigr|&=\sqrt{\begin{vmatrix}
y_Q-y_A & z_Q-z_A\\
y_Q-y_B & z_Q-z_B
\end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix}
z_Q-z_A & x_Q-x_A\\
z_Q-z_B & x_Q-x_B
\end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix}
x_Q-x_A & y_Q-y_A\\
x_Q-x_B & y_Q-y_B
\end{vmatrix}^2},
\end{align*}
代入……还是算了吧……

一般的题目画个图目测就行了

看向量坐标的符号，就可以知道它指向第几卦限，求二面角时，z坐标正指向上，负指向下，结合图形很容易知道法向量指向二面角的内外，若一里一外，向量角$~=~$二面角，否则为补角

原来这个帖子的内容谈的是如何判断二面角是钝角还是锐角

其实，这个玩意可能用直角（以其中一个法向量构造垂直平面）来判断

具体要用到四点共面（及推广）：若 $\vv {OP} =x\vv {OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC} ,P,A,B,C$共面$\iff x+y+z=1$

由此$x+y+z>1,x+y+z<1$又有什么几何意义呢？从这个方面严格判断，相对好操作。

我一直用外积,指向很清楚.右手系而已.