20# yayaweha

没研究过一般情况，只记得当年用软件分解 $\sum xy^n-\sum x^ny$ 是很有规律的，也没证明过。
设 $\sum xy^n-\sum x^ny=(x-y)(y-z)(z-x)\cdot P_n(x,y,z)$，记 $\sum$ 为循环求和，$\sum_{sym}$ 为对称求和
\begin{array}{|l|l|}
\hline\\
n & P_n(x,y,z) \\
\hline\\
2 & 1 \\
\hline\\
3 & \sum x \\
\hline\\
4 & \sum x^2+\sum xy \\
\hline\\
5 & \sum x^3+\sum_{sym} x^2y + xyz \\
\hline\\
6 & \sum x^4+\sum_{sym} x^3y + \sum x^2y^2 + xyz\sum x \\
\hline\\
7 & \sum x^5+\sum_{sym} x^4y + \sum_{sym} x^3y^2 + xyz\sum x^2 + xyz\sum xy \\
\hline\\
8 & \sum x^6+\sum_{sym} x^5y+\sum_{sym} x^4y^2 +\sum x^3y^3+ xyz\sum x^3 + xyz\sum_{sym} x^2y+x^2y^2z^2 \\
\hline\\
\vdots & \vdots \\
\hline
\end{array}

20# yayaweha

没研究过一般情况，只记得当年用软件分解 $\sum xy^n-\sum x^ny$ 是很有规律的，也没证明过。
设 $\sum xy^n-\sum x^ny=(x-y)(y-z)(z-x)\cdot P_n(x,y,z)$，记 $\sum$ 为循环求和，$\sum_{sym}$  ...
kuing 发表于 2013-2-11 18:26

好东西

续21#
大概可以归纳成这样，当 $n\geqslant5$，
若 $n$ 为奇数，令 $n=2k+1$，则
\[P_n=\sum x^{n-2}+\sum_{sym} x^{n-3}y+\sum_{sym} x^{n-4}y^2+\cdots+\sum_{sym} x^ky^{k-1}+xyzP_{n-3};\]
若 $n$ 为偶数，令 $n=2k$，则
\[P_n=\sum x^{n-2}+\sum_{sym} x^{n-3}y+\sum_{sym} x^{n-4}y^2+\cdots+\sum_{sym} x^ky^{k-2}+\sum x^{k-1}y^{k-1}+xyzP_{n-3}.\]

1# yayaweha


这个是所谓的hjj书上的那个题么？

yes