[不等式] $\sum a\sqrt{a^2+bc}\geqslant\sqrt2\sum{ab}$

证明：对任意的非负实数a，b，c有
$$\sum a\sqrt{a^2+bc}\geqslant\sqrt2\sum{ab}$$

$$a\sqrt{a^2+bc}+b\sqrt{b^2+ca}+c\sqrt{c^2+ab}\geqslant\underline{\frac{1}{\sqrt2}(a(a+\sqrt{bc})+b(b+\sqrt{ca})+c(c+\sqrt{ab}))\geqslant\frac{1}{\sqrt2}(\sqrt{ab}(a+b)+\sqrt{bc}(b+c)+\sqrt{ca}(c+a)}\geqslant\sqrt2(ab+bc+ca)$$

加下划线的部分怎么变得？

3# yayaweha

那个应该是用了Schur不等式的 $\sum a^2(a-b)(a-c)\ge0$

4# kuing

$$\sum a^2(a-b)(a-c)\ge0\iff\sum a^2(a^2+bc)\ge\sum a^3(b+c)$$

还是看不出来

5# yayaweha

$a\to\sqrt a$, $\sum a^3(b+c)=\sum ab(a^2+b^2)$

$\sum a^3(b+c)=\sum ab(a^2+b^2)$这个怎么一眼瞄到？

顺带问下，怎样用柯西不等式证明AM-GM

再比如这个又是怎么一眼看出来（知道能这样变）$$\sum x^2y-\sum xy^2=\prod(x-y)$$

证明：在$\Delta ABC$中有
$$\sum a^3-2\sum a^2(b+c)+9abc\le0$$

9# yayaweha

容易配成 $\sum(b+c-a)(a-b)(a-c)\ge0$

10# kuing


这怎么配，是看出来的？

11# yayaweha

我现在还在外面。。。

$$\sum a^3-\sum a^2(b+c)+3abc=\sum a(a-b)(a-c)$$
$$\sum a^2(b+c)-6abc=\sum (b+c)(a-b)(a-c)$$
$$\sum a^3-2\sum a^2(b+c)+9abc=\sum(a-(b+b))(a-b)(a-c)$$

13# yayaweha

嗯，我就是这样看的，分出一个Schur，剩下那个也简单。

我是看着你的结果反推的

$\sum a^3(b+c)=\sum ab(a^2+b^2)$这个怎么一眼瞄到？

顺带问下，怎样用柯西不等式证明AM-GM
yayaweha 发表于 2013-2-10 12:13

重新组合一下而已……

16# kuing


柯西呢？

再比如这个又是怎么一眼看出来（知道能这样变）$$\sum x^2y-\sum xy^2=\prod(x-y)$$
yayaweha 发表于 2013-2-10 13:11

很早就知道了，至于当年是不是一眼看出就不清楚了，反正一直记得。
类似更高次的情形也会有这种因式，因为任意两元相等时原式为0

18# yayaweha

你是说证 n 元均值？没想过，一下也没想到。
刚到家，晚点再玩

18# kuing


高次的是怎样得？