[不等式] 狂问问题

第三问

an，bn

\[A_n=\frac{1}{2}\frac{3}{3-1}\frac{3^2}{3^2-1}\frac{3^3}{3^3-1}\cdots\frac{3^{n-1}}{3^{n-1}-1}\]
\[A_n=\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{1}{3}}\frac{1}{1-\frac{1}{3^2}}\frac{1}{1-\frac{1}{3^3}}\cdots\frac{1}{1-\frac{1}{3^{n-1}}}\]
$(1-a)(1-b)=1-a-b+ab>1-a-b,a,b\in (0,1)$,
类似地$(1-a)(1-b)(1-c)>(1-a-b)(1-c)>1-a-b-c$
\[而(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{3^2})(1-\frac{1}{3^3})\cdots(1-\frac{1}{3^{n-1}})>1-\frac{1}{3}-\frac{1}{3^2}\cdots-\frac{1}{3^{n-1}}=1-\frac{\frac{1}{3}(1-\frac{1}{3^n})}{1-\frac{1}{3}}>1-\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}\]
所以$0<A_n<1<\frac{\pi}{2}$,而$\frac{\pi}{2}>\pi-b_n>1$,$$所以..

这个能这样推广吗

4# yayaweha


好像用数学归纳法是可以说得通的

又玩伯努力

6# kuing


广义贝努力不等式

那我就不玩被努力，刚才搞错了，为了挽回面子，再试试看：
先给出一个引理：
引理  设$k\in N_+$，则有$1-\dfrac1{3^k}\geqslant\dfrac{1+\dfrac1{3^k}}{1+\dfrac1{3^{k-1}}}$，当且仅当$k=1$取等号。
       这个引理也就是：$(1-\dfrac1{3^k})(1+\dfrac1{3^{k-1}})\geqslant{1+\dfrac1{3^k}}$，这很容易证明的，展开即得。
下面给出异于贝努利的放缩：
$A_n=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{3-1}\cdot\dfrac{3^2}{3^2-1}\cdot\dfrac{3^3}{3^3-1}\cdots\dfrac{3^{n-1}}{3^{n-1}-1}$，故$A_n=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{3}}\cdot\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{3^2}}\cdot\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{3^3}}\cdots\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{3^{n-1}}}$
由引理可得，$(1-\dfrac{1}{3})(1-\dfrac{1}{3^2})(1-\dfrac{1}{3^3})\cdots(1-\dfrac{1}{3^{n-1}})=\prod_{k=1}^{n-1}(1-\dfrac1{3^k})\geqslant\prod_{k=1}^{n-1}
\dfrac{1+\dfrac1{3^k}}{1+\dfrac1{3^{k-1}}}=\dfrac{1+\dfrac1{3^{n-1}}}{1+1}>\dfrac12$
于是,$0<A_n<1<\dfrac{\pi}{2}$，以下略。

8# yes94


$$A_n$$是增数列吧

才看了下原题，觉得……这道题拼凑得……实在是狼狈

第（3）咋一看被吓到了，其实不等式结构很清楚

10# kuing
犀利
```

自从$2006\cdot$江西开播以来，被努力就成为经典，被人重提了！
是不是考生不知道贝努利，就不能做了？
另外，在8楼已修改。

大家都用引理 ，看来平时有所积累

那我就不玩被努力，刚才搞错了，为了挽回面子，再试试看：
先给出一个引理：
引理  设$k\in N_+$，则有$1-\dfrac1{3^k}>\dfrac{1+\dfrac1{3^k}}{1+\dfrac1{3^{k-1}}}$
       这个引理也就是：$(1-\dfrac1{3^k})( ...
yes94 发表于 2013-2-7 14:53

本题的标准答案就是这样

14# yayaweha
这个引理，不是众所周知的，谈不上积累，是临时根据问题想出的，
那个被努力，才算知识的积累，

15# yayaweha
看来我的做法和标答思想基本一致，

16# yes94


佩服，这个引理是怎么想的？

18# yayaweha
这个不好说吧，打代码麻烦，要修改很多次，显示才正常，
和以前的那道题一样，http://kkkkuingggg.5d6d.net/thread-1033-1-4.html

19# yes94


不明白你说什么