[不等式] 不等式证明

证明

  $$\frac{2}{1+2}+\frac{2^2}{1+2^2}+.........+\frac{2^n}{1+2^n}>\frac{n^2}{n+1}$$

前面保留足够项，后面用 2^k/(1+2^k)=1-1/(1+2^k)>1-1/(k(k+1))

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2013-1-10 08:29

由于$$\sum_{k=1}^n\frac{2^k+1}{2^k}=n+1-\frac{1}{2^{n+1}}< n+1,$$于是$$(n+1)\sum_{k=1}^n \frac{2^k}{2^k+1} > \sum_{k=1}^n \frac{2^k+1}{2^k}\sum_{k=1}^n\frac{2^k}{2^k+1}> \left(\sum_{k=1}^n 1\right)^2=n^2,$$
即 $$\sum_{k=1}^n\frac{2^k}{2^k+1}> \frac{n^2}{n+1},$$
也就是 $$\frac{2}{1+2}+\frac{2^2}{1+2^2}+\cdots+\frac{2^n}{1+2^n} >\frac{n^2}{n+1}.$$

牛方法

PS、行间公式中一般不需要 \dfrac 只需 \frac，除非繁分式等

5# kuing

谢谢。不熟悉。慢慢学习中……

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2013-1-10 21:09

没来得及检查，

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2013-1-10 21:13

跟3#或4#实质一样

这个倒没注意和他的证法是不是一样，
只是我喜欢用权方和不等式书写，
当然所有解法最后实质都是一样的，因为殊途同归嘛！
下面这个解法呢?
实质上也用了那个当比数列求和，似乎无法逃避。

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2013-1-10 22:16

10# yes94


这个引理是怎么想的？

11# yayaweha
实质就是柯西不等式的证法之一，再改造一下就行了，并且让它披上神秘的面纱，

12# yes94


我还是不明白这引理

都是柯西不等式

14# yayaweha
那这次不用引理，也不用柯西，用看得懂的二元均值不等式：

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2013-1-10 23:18

这题好像不难啊，好像不用做得这么复杂。难道我想错了？

呵呵，看来是我小看了它了。
自己的证法有点小问题，没办法进行下去 。

还有其他证法，只是要从$n$要从某个数开始放缩，例如从$n\geqslant5$开始放缩。

嗯，昨天就是想通过比较对应项的大小去证明，不过有点小麻烦，就第四项的时候要做个说明。
也可以证明的。

19# 第一章
那就甩出来看看，