继续换个方式折腾
求所有正整数解,$x^2+4^y=25$的所有正整数解.或者更复杂点的,$x^2+4^y=5^z$的所有正整数解.

(转)严文兰老师的一个解答的网址.

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2013-2-5 10:24

22# realnumber
试下一直用取模的办法,---呼~~终于也完成,从楼上学了不少.
见楼上,设$x=2r,y=2s,z=2t,r,s,t\in Z^+$,
得到$21^y=(29^t-20^r)(29^t+20^r)$
取$\mod7$,     $0\equiv (1-(-1)^r)(1+(-1)^r)$
而$(1-(-1)^r),(1+(-1)^r)$有且仅有一项被$7$整除,------(1)
又由$(29^t-20^r,29^t+20^r)=(2\times 29^t,29^t+20^r)=1$
1.当$r$为偶数时,$r=2m,m\in Z^+$,
\begin{cases}29^t+20^{2m}=3^y \\ 29^t-20^{2m}=7^y\end{cases}
   取$\mod8$,得到$t$为偶数,设$t=2n$,那么得到$(29^n-20^m)(29^n+20^m)=7^y$,
得到$7\mid 29^n-20^m,7\mid 29^n+20^m$而这与(1)矛盾.
所以$r$为偶数时,原方程无解.

2.当$r$为奇数时,$r=2m+1,m\in N$,
\begin{cases}29^t+20^{2m+1}=49^s \\ 29^t-20^{2m+1}=9^s\end{cases}
取$\mod3,\mod5$后,得$s,t$都为奇数,再取$\mod16$,得到$m=0$.
即
\begin{cases}29^t+20=49^s \\ 29^t-20=9^s\end{cases}
相减,得到$40=49^s-9^s=(49-9)(49^{s-1}+\cdots+9^{s-1})$,因此$s=1$,
如此原方程只有解$(2,2,2).$

方程$x^2+y^2=6$有理解是否存在.问题来自张云华老师的博客--解答见2楼下.

24# realnumber
方程$x^2+y^2=6$有理解是否存在.问题来自张云华老师的博客
\[x=\frac{n}{m},y=\frac{t}{s},m,n,s,t\in Z,(m,n)=(s,t)=1\]
得到$(ns)^2+(mt)^2=6(ms)^2$,------(1)
注意到$m^2\mid 6(ms)^2,m^2\mid (mt)^2$,所以$m^2\mid (ns)^2$,又$(m,n)=1$,所以$m^2\mid s^2$.同样可以得到$s^2\mid m^2$,所以有$m^2=s^2$,
因此方程(1)等价于$n^2+t^2=6s^2,(n,s)=(t,s)=1.n,s,t\in Z$,-----(2)
若$3\mid n$由$3\mid 6s^2$,可得$3\mid t$,则$9\mid n^2,9\mid t^2$,所以$9\mid 6s^2$,则$3\mid s^2$,$3\mid s$
那么与$(s,t)=1$,矛盾,所以$3\nmid n$且$3\nmid t$
方程(2)两边取$\mod3$,得到$2\equiv0$矛盾,所以(2)无整数解,也即原方程无有理数解.

卡塔兰定理

试证明$x^3+y^3=z^3$无正整数解.--来自<不定方程的整数解和填数法>,其实是费马大定理特例.

试证明$x^5+y^5=z^5$无正整数解.

28# realnumber
无穷递降法？
它和最小数原理等价

29# yes94
读大学上课时,好象听说过,现在基本忘了,你可以试试.我是先收集着,不知深浅,有兴趣时来想.

解答和题目来自<初等数论100例>第28题
求$x^3+y^3+z^3-3xyz=0$的所有整数解.
$x^3+y^3+z^3-3xyz=0.5(x+y+z)((x-y)^2+(x-z)^2+(y-z)^2)$
可以证明$x=y=z=t,t\in Z,x=u+v,y=-u,z=-v,u,v\in Z$是所有整数解.

31# realnumber
这个倒蛮简单的，以前用这个恒等式来证明，
当$a、b、c\in R^+$时，有不等式$a^3+b^3+c^3\geqslant 3abc$

32# yes94

总算有看得懂的了……

33# kuing
我也是，

34# yes94

上面证明基本思路很单一,就"取模",其实你俩能懂的,$\mod3$就是把自然数分成三类,$3k,3k+1,3k+2$.下面举例
25楼部分:$n^2+t^2=6s^2,(n,s)=(t,s)=1.n,s,t\in Z$,-----(2)
若$3\mid n$由$3\mid 6s^2$,可得$3\mid t$,则$9\mid n^2,9\mid t^2$,所以$9\mid 6s^2$,则$3\mid s^2$,$3\mid s$
那么与$(s,t)=1$,矛盾,所以$3\nmid n$且$3\nmid t$
方程(2)两边取$\mod3$,得到$2\equiv0$矛盾,所以(2)无整数解,也即原方程无有理数解.
-----就是对$n=3k+1,n=3k+2;t=3l+1,t=3l+2,k,l\in Z$,你把这些代入等式(2)看看,左边被3除余2,右边是3的倍数.

来自14楼末尾
初等方法求证：$1+x^4=2y^4$有唯一正整数解.(要求初等方法，搜索到的办法连符号都看不懂.)

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2013-5-21 14:54

转自QQ群,有空再看

曾经看过“模”知识，如啃天书，无奈放弃！

38# 李斌斌755
不习惯记号而已,觉得开始难度就算术除法乘法相当,也就是说小学3,4年级.