[数论] 初等数论学习贴--不定方程

声明:本人只是业余爱好者,只是自己学习下,也不清楚碰到的问题难易,没解错就不错了,.
未解决的:7楼; 15楼 ;19楼;20楼 ;21楼,27楼,28楼，36楼
已经解答的:3楼,4楼,8楼,9楼,13楼,22楼(严文兰老师),23楼,24楼.
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline\\\mod& 2  & 3  & 4  & 5  & 6  & 7  & 8  &  9 & 10 \\
\hline\\
2^x &0 &-1,1&2,0,0&2,-1,-2,1&2,-2,&2,-3,1&2,4,0,0 &2,4,-1,-2,-4,1&2,4,-2,-4  \\
\hline\\
3^x & 1 & 0 &-1,1  & -2,-1,2,1&3&3,2,-1,-3,-2,1& 3,1&3,0,0&3,-1,-3,1\\
\hline\\
4^x &  & 1& 0 &-1,1&-2 &-3,2,1&4,0,0&4,-2,1&4,-4 \\
\hline\\
5^x &  &  & 1 & 0&-1,1&-2,-3,-1,2,3,1&-3,1&-4,-2,-1,4,2,1&5 \\
\hline\\
6^x &  &  &  & 1 & 0&-1,1&-2,4,0,0&-3,0,0&-4\\
\hline\\
7^x &  &  &  & & 1&0&-1,1&-2,4,1 &-3,-1,3,1\\
\hline\\
8^x & &  &  & &&1&0&-1,1&-2,4,2,-4 \\
\hline
\end{array}
---突然发现求解时,基本重新算的,表格根本没看，鸡肋,好在可以放在这里唬下新手.

数论很难搞啊！很多未解决的题没有特定的模式，

$3^y-2^x=1,x,y\in Z_+$求证只有两组解(1,1),(3,2)----解答见6楼

$3^x+4^y=5^z$,除了$(2,2,2)$还有其它正整数解吗?并证明.---解答见12楼.

4# realnumber
问了一位网友，说已经证明了没有其它正整数解。证明没细讲，只讲了关键的先模3，再模8，呵呵，没看懂，大家帮看看这思路。

3# realnumber
$3^y-2^x=1,x,y\in Z_+$求证只有两组解(1,1),(3,2)
$x=1,2,3$单独检验后,$x\ge4$时,两边取$\mod4$,可得$(-1)^y\equiv1$,所以$y$为偶数,设$y=2t,$.
两边取$\mod3$,可得$-(-1)^x\equiv1$,所以$x$为奇数,设$x=2s+1,s\ge2$.
得到$9^t=2\times4^s+1$,考虑两边的个位数(即$\mod10$),可得$s,t$均为奇数,设$s=2m+1,t=2n+1,m\ge1,n\ge0$.
因此$9\times81^n=8\times16^m+1$,两边$\mod16$,可得$9=1$矛盾.所以原不定方程只有2组解.
多次取模的办法学习自这个帖子.

求不定方程$y^2=x^3+1$的所有正整数解,来自Joseph2338.

4# realnumber
不怕数据大的话,似乎编n个方程,比如求$5^x+12^y=13^z$的所有正整数解.不知道方法是否都类似?---解答在17楼,至少2题都用了类似办法.

求方程$3^x=2^y-1$的所有正整数解.---解答见10楼.

9# realnumber
求方程$3^x=2^y-1$的所有正整数解.
依次检验$y=1,2,3,4,$显然$(1,2)$是一组解
当$y\ge 5$时,两边$\mod16$,右边是$-1$,左边是$3,9,11,1$矛盾.所以$(1,2)$是唯一一组解.

表格太长，这里放不下了……

4# realnumber
求$3^x+4^y=5^z$的所有正整数解.
两边$\mod4$,可得$(-1)^x\equiv1$,所以$x$为偶数,设$x=2r,r\in Z_+$.
两边$\mod3$,可得$z$为偶数,设$z=2t,t\in Z_+$.
所以$4^y=(5^t-3^r)(5^t+3^r)$,则存在$m,n\in N,m\ge n$,有
\begin{cases}5^t-3^r=2^n \\5^t+3^r=2^m \end{cases}
解得\begin{cases}5^t=2^{m-1}+2^{n-1} \\3^r=2^{m-1}-2^{n-1} \end{cases}
因为3,5为奇数,所以$n-1=0$,得$3^r=2^{m-1}-1$.-------(*)
依次检验$m-1=1,2,3,4,$显然$r=1,m=3$是一组解
当$m\ge 5$时,两边$\mod16$,右边是$-1$,左边是$3,9,11,1$矛盾.所以$(1,3)$是唯一一组解.
也即原方程$(2,2,2)$是唯一一组解.

诸如这类不定方程$51x+33y=17$的整数解情况.$(51,33)=3$,而$17$不被3整除,所以无解.

求$5x+2xy-3y=4$的整数解
-----来自<不定方程的整数解和填数法>

13# realnumber
这类方程较简单，已有定法：
求$5x+2xy−3y=4$的整数解
解为：$(x,y)=(1,1)$或$(-2,-2)$

14# yes94
这本书上还写者$x^3-y^2=7$,的一组解(32,181),(也没有说是否唯一),烦琐,没心情看下去,留着以后试试.

14# yes94
这本书上还写者$x^3-y^2=7$,的一组解(32,181),(也没有说是否唯一),烦琐,没心情看下去,留着以后试试.
realnumber 发表于 2013-2-3 22:53

显然，$(x,y)=(2,1)$或$(2,-1)$也可以噻，

8# realnumber

求$5^x+12^y=13^z$的所有正整数解.
     两边$\mod6$,得到$(-1)^x\equiv1$,所以$x$为偶数,设$x=2r,r\in Z^+$.
两边$\mod 10$,三项个位数依次为$5;2,4,6,8;3,9,7,1$,由此可得$y,z$同为奇数,或同为偶数.
1.若$y,z$同为偶数,设$y=2s,z=2t,s,t\in Z^+$.
则有,$25^r=(13^t-12^s)(13^t+12^s)$,则存在$m,n\in N,m\ge n$,有
\begin{cases}13^t-12^s=5^n \\13^t+12^s=5^m \end{cases}
解得$2\times 13^t=5^m+5^n$,$13$不是$5$的倍数,所以$n=0$,
即有$13^t-12^s=1$,(1,1)显然是它的一组解,以下证明是唯一一组解.-------(*)
当$s\ge2$时,取$\mod11$,得$2,4,-3,5,-1,-2,-4,3,-5,1\equiv2$可得$t=10k+1,k\in N$,
取$\mod 16$,即得$5,-3\equiv1$,矛盾.
2.若$y,z$同为奇数,设$y=2s+1,z=2t+1,s,t\in N$.
则有$25^r+12\times 144^s=13\times 169^t$
取$\mod 16$,可得$(-7)^r+12\times 8^s=(-3)\times (-7)^t$,可得$s=0$,
此时有$25^r+12=13\times 169^t$,取$\mod 13$,得到$r$为偶数,设$r=2m,m\in Z^+$,
取$\mod 10$,得到$t$为奇数,设$t=2n+1,n\in N$
所以有$625^m+12=13\times 169^{2n+1}$
两边$\mod17$,可得$(-4)^m-5\equiv4$,即"$-4$或$-1$或$4$或$1$"$-5\equiv4$矛盾.
所以$(2,2,2)$是原题唯一一组解.
$ps,17$是这样想到要去尝试的,$169^2-1$含有因子$17$,更进一步的原因,不知道;又取$\mod16$,还是觉得莫名其妙,虽然似乎也很关键.
果然经验累积多了,会有改观.

14# yes94
书写不多的话,写写看~~~

继续丢个,近期不想再去处理,想换个口味.
求$7^x+24^y=25^z$所有正整数解,

求所有正整数解$9^x+40^y=41^z$,哈哈,无穷无尽.哪个看得不爽的,解决终极的,设正常数$a,b,c,(a,b,c)=1,(a,b,c)$是一组勾股数,
求$a^x+b^y=c^z$的所有正整数解.