[不等式] (转发)解题群的一个不等式选择题,最大中最小

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2013-1-28 10:35

连加，再均值

2# goft
得说明理由,以及过程,这样不够照顾新手的意思.

贴一下

不妨设$$M=\max\left\{x^2+y^2,xy+z,\frac{1}{\sqrt[3]{x^2y^2z}}\right\},$$
则
\begin{align*}
M&\geqslant x^2+y^2,\\
M&\geqslant xy+z,\\
M&\geqslant \frac{1}{\sqrt[3]{x^2y^2z}},
\end{align*}
于是
\begin{align*}
M+2M+3M &\geqslant x^2+y^2+2(xy+z)+\frac{3}{\sqrt[3]{x^2y^2z}}\\
&\geqslant 2xy+2xy+2z+\frac{3}{\sqrt[3]{x^2y^2z}} \\
&\geqslant 6\sqrt[3]{x^2y^2z}+\frac{3}{\sqrt[3]{x^2y^2z}}\geqslant 6\sqrt2,
\end{align*}
即$$M\geqslant\sqrt2.$$
显然等号成立条件是$$x=y=\frac{\sqrt[4]{2}}{2},z=\frac{\sqrt2}{2}.$$

5# hnsredfox_007
输入看不清

试试看：
$M+2M+3M \geqslant x^2+y^2+2(xy+z)+\frac{3}{\sqrt[3]{x^2y^2z}}\\
\geqslant 2xy+2xy+2z+\frac{3}{\sqrt[3]{x^2y^2z}} \\
\geqslant 6\sqrt[3]{x^2y^2z}+\frac{3}{\sqrt[3]{x^2y^2z}}\geqslant 6\sqrt2$.

7# yes94
原来红狐用的是加权平均。

原先看到红狐有编辑过的信息：“本帖最后由 &&& 于 2013-1-28 &:& 编辑 ”，奇怪现在怎么没了编辑过的信息？怎么回事？
反倒觉得我6楼乱写的一样，
此贴http://kkkkuingggg.5d6d.net/thread-1067-1-2.html
已经提过这类问题的一般方法：均值法，常用算数均值或几何均值
红狐用了加权算术算数均值，那么为了不重复，我用加权几何均值：
代码书写是个困难事件，改上附件：

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2013-1-28 16:41

原先看到红狐有编辑过的信息：“本帖最后由 &&& 于 2013-1-28 &:& 编辑 ”，奇怪现在怎么没了编辑过的信息？怎么回事？
yes94 发表于 2013-1-28 16:41

因为他原先的代码没写好，最后是我编辑了，这论坛有一个地方不好，就是管理员编辑过的话会连痕迹也没了。

10# kuing
哦，我是说呢怎么怪事出现了

11# yes94

嗯，容易引起误会，所以这是个不好的设置，但我也没办法修改它，只能尽量避免了。
如果不是他在Q上跟我说代码不知哪里错，我也不会出手编辑。

12# kuing
后来关注了一下qq群，才发现聊天记录

特殊到一般
通过考察
1.$a>0,max\{a,\frac{1}{a}\}$的最小值.
2.$a>0,max\{4a,\frac{1}{a}\}$的最小值.
3.$a>0,max\{a,\frac{1}{a^2}\}$的最小值.
可以这样处理,
引理:$max\{a,b,c,d\}\ge \frac{2a+b+c+d}{5}$,
或更一般的$max\{a,b,c,d\}\ge \frac{pa+qb+rc+sd}{m}$,其中正整数$p,q,r,s$满足$p+q+r+s=m$.
由此,可以按2楼的要求直接搭配均值了.其实同5楼办法.

特殊到一般
通过考察
1.$a>0,max\{a,\frac{1}{a}\}$的最小值.
2.$a>0,max\{4a,\frac{1}{a}\}$的最小值.
3.$a>0,max\{a,\frac{1}{a^2}\}$的最小值.
可以这样处理,
引理:$max\{a,b,c,d\}\ge \frac{2a+b+c+d}{5}$ ...
realnumber 发表于 2013-1-28 19:00

你那不就是加权均值么？