[不等式] 问题1：来看看这个较大中的最小值

若$a,b$均为正数，记$m=\max\left\{\dfrac{a^2+b^2}{b},\dfrac{1}{a}\right\}$中较大的，求$m$的最小值.

若$a,b$均为正数，记$m=max\{\dfrac{a^2+b^2}{b},\dfrac{1}{a}\}$中较大的，求$m$的最小值.
isea 发表于 2013-1-20 17:43

$m=\max\left\{\dfrac{a^2+b^2}b,\dfrac1a\right\}$    m=\max\left\{\dfrac{a^2+b^2}b,\dfrac1a\right\}
\[2m\geqslant \frac{a^2+b^2}b+\frac1a\geqslant2a+\frac1a\geqslant2\sqrt{2}.\]
或者
\[m^2\geqslant\frac{a^2+b^2}{ab}\geqslant2.\]

我叩，原来属于不等式类啊，我还以为是要用函数，讨论之，但两个字母，就傻了。

原来这样子被你秒了

这叫均值法，常用算数均值或几何均值，

4# yes94


主要以前碰到全是一元的，基本全用图象解决，如

$\min\left\{x+1,2-x,2x-1\right\}$的最大值为_______.

这样的，从未想过不等式……

主要以前碰到全是一元的，基本全用图象解决，如

$\min\left\{x+1,2-x,2x-1\right\}$的最大值为_______.

这样的，从未想过不等式……
isea 发表于 2013-1-20 19:00

图像也可以搞，下面用加权均值：
设$m$=$\min\left\{x+1,2-x,2x-1\right\}$，则$m\leqslant 2-x$，$m\leqslant 2x-1$，
以上两式相加可得$m\leqslant x+1$，
于是只需要$m\leqslant 2-x$，$m\leqslant 2x-1$这两式子即可
显然$2m\leqslant 2(2-x)$，$m\leqslant 2x-1$，故
$3m\leqslant 2(2-x)+(2x-1)=3$，
所以，$m\leqslant 1$，即$\min\left\{x+1,2-x,2x-1\right\}$的最大值为$1$
当且仅当$2-x=2x-1$，即$x=1$取等号。
输入很麻烦，慢慢来

这个除了画图，有其他方法吗？

_____kuing edit in $\LaTeX$_____
求 $\max\{\min\{x+1,x^2-x+1,-x+6\}\}$

1# isea
印象中人教版4-5出现过这个练习题。跟k的做法一样。

这个除了画图，有其他方法吗？

_____kuing edit in $\LaTeX$_____
求 $\max\{\min\{x+1,x^2-x+1,-x+6\}\}$
yayaweha 发表于 2013-4-24 22:50

这是一个坑 die 的解法：
\[2\min\{x+1,x^2-x+1,-x+6\} \leqslant x+1+(-x+6)=7,\]
得到
\[\max\bigl\{\min\{x+1,x^2-x+1,-x+6\}\bigr\}\leqslant\frac72,\]
当 $x=5/2$ 时取等，故 $\max\bigl\{\min\{x+1,x^2-x+1,-x+6\}\bigr\}=7/2$。

9# kuing
权值为0

10# yes94


权值为零什么意思

9# kuing


为什么不用考虑那个二次函数

12# yayaweha
可以先从几何图像上获得答案，再用代数证明

所以坑die。。

14# kuing