我也在想考虑平移，但是如何断定就存在$a$!使得它们的对称轴一样呢？

我也在想考虑平移，但是如何断定就存在$a$!使得它们的对称轴一样呢？
pengcheng1130 发表于 2013-1-26 20:41

问得有道理，败给这题了，哈哈。

说一下原解题思路吧，原始想的是，水平平移是$\mathbf{R}$，
总有一个位置使得$y=(x-m)(x-m-1),$或者$y=(x-m+1)(x-m-2),$至少一个成立，
这里的确默了其中至少有一个是应该边界而开始思考的。且认为，即便不存在这样的抛物线时也不碍事，因为想“夹出”是两个整数根，至少有个接近数值与方向。


从而，
原来的解法，写存在$a_0$是有bug的（随便手画了画示意图），应该是假设存在$a_0$，如果解出了$a_0$合题设，即肯定其存在性。
若是无解，则不存在（这种对称的抛物线），则要另想方法。


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好吧，那就干脆“主观”到底——数型结合，至少得到正确结果是没问题的。
\begin{align*}y&=x^2-ax+2a\\
&=(x-\dfrac a2)^2-\dfrac{a^2}{4}+2a\\
\end{align*}
则顶点坐标$\left (\dfrac a2,-\dfrac{a^2}{4}+2a\right )$的轨迹是$y=-4x^2+4x$，借助网格，（手画）相对较精确的图，讨论这两个整数到底是哪两个，即可得到答案。

谢谢，代数解法有代数解法的魅力，数形结合有数形结合的魅力
有人喜欢纯字母的推理，有人喜欢图形秒杀，各有其乐！
就如同四色定理的证明，虽然是计算机给出了“证明”，但现在仍有数学家试图给出一个手工的证明！

谢谢，代数解法有代数解法的魅力，数形结合有数形结合的魅力
有人喜欢纯字母的推理，有人喜欢图形秒杀，各有其乐！
就如同四色定理的证明，虽然是计算机给出了“证明”，但现在仍有数学家试图给出一个手工的证明！
pengcheng1130 发表于 2013-1-26 22:27

喜欢这个中肯的评价

3# yes94


我是这样处理的，感觉这种问题没有一般方法啊。

25# jsxh2005
下面用最原始的观察法解决该问题（写了这么多的代码，代码却不给力，写错了？ ）：
令$f(x)=x^2-ax+2a$，则不等式$f(x)<0$，即$x^2<a(x-2)$，当$a>0$时，$x>2$，故此时整数解至少从$3$开始.
罗列出如下不等式：$f(3)=9-a<0$，$f(4)=16-2a<0$，$f(5)=25-3a<0$，$f(6)=36-4a<0$，    $f(7)=49-5a<0$，……，$f(n)=n^2-(n-2)a<0(n\geqslant 7)$，
以上不等式分别等价于：$a>9$，$a>8$，$a>\dfrac{25}{3}$，$a>9$，$a>\dfrac{49}{5}(>9)$，……，$a>\dfrac{n^2}{n-2}(>9)$，
    注：这里可证明$g(n)=\dfrac{n^2}{n-2}$$(n\geqslant4)$是递增数列。下文的$g(n)=\dfrac{n^2}{n-2}$$(n\leqslant0)$也是递增数列
如果$a>9$，那么至少有四个整数解$3，4，5，6$满足不等式$f(x)=x^2-ax+2a<0$，矛盾于条件。
所以$a\leqslant 9$，于是$x=3$，$6$，$7$，$8$，……不是不等式$f(x)=x^2-ax+2a<0$的解，只余下$x=4$，$5$这两个整数了。
当$a\leqslant \dfrac{25}{3}$，只有$x=5$不是整数解。当$a>\dfrac{25}{3}$，恰有$x=4,5$是整数解
    所以，$\dfrac{25}{3}<a\leqslant 9$
对于$a<0$，可同样讨论，此时要求$x<2$，对$x=1$，$0$，$-1$，$-2$，$-3$，$-4$，……，赋值，发现
$f(1)=9+a<0$，$f(0)=2a<0$，$f(-1)=1+3a<0$，$f(-2)=4+4a<0$，$f(-3)=9+5a<0$，$f(-4)=16+6a<0$，$f(-5)=25+7a<0$，……，$f(n)=n^2-(n-2)a<0$，（$n\leqslant 1，n\in Z$），
分别得到：$a<-9$，$a<0$，$a<-\dfrac{1}{3}$，$a<-1$，$a<-\dfrac{9}{5}$，$a<-\dfrac{8}{3}$，$a<-\dfrac{25}{7}$，……，$a<\dfrac{n^2}{n-2}$，
讨论过程略，得到$-1\leqslant a<-\dfrac{1}{3}$，
综上，$-1\leqslant a<-\dfrac{1}{3}$或$\dfrac{25}{3}<a\leqslant 9$