[函数] 连云港高三期末试题

关于 $x$ 的不等式 $x^2-a x+2a <0$ 的解集为 $A$, 若集合 $A$ 中恰有两个整数，则实数 $a$ 的取值范围是多少?

用零点存在定理,配合$2$次函数图象$f(x)=x^2-ax+2a$(过定点$(2,4)$),
满足$f(k-1)\ge0$且$f(k)<0$且$f(k+1)<0$且$f(k+2)\ge0$,$k$取遍满足条件$k-1\ge2$或$k+2\le2$的所有整数.
取了k=3,4,发现问题被我处理复杂了.
修改如下:不等式作如下变形$x^2<a(x-2)$,令$x-2=t$($x,t$同为整数或同不为整数),得到$t^2+4t+4\le{at}$,注意到$t=0$不满足,
若$t>0$,则有\[h(t)=t+\frac{4}{t}+4\le a\]
即两个整数就是$t=2,3$,所以$h(3)<a\le h(1)$,即$\frac{25}{3}<a\le{9}$
若$t<0$,你自己解吧,$t$一正一负自然不可能

直接用求根公式可以不？
两根的绝对值差介于$(1,3]$之间，再检查充分性

3# yes94
期待...

3# yes94
期待...
realnumber 发表于 2013-1-24 18:21

我问你可以不？你反而期待我，

答案似乎不对啊！！！

答案似乎不对啊！！！
pengcheng1130 发表于 2013-1-24 18:56

给出答案嘛！

$-1\le a<-\frac{1}{3}$或$\frac{25}{3}<a\le 9$

8# pengcheng1130
$2$楼给似乎你提示了，
当$t<0$时，请你自行解决

谢谢，你的解法还是比较简单的啊!

3# yes94
也许也可以,正好可以简化2楼的前面一个办法.

关于$x$的不等式$x^2-ax+2a<0$的解集为$A$，若集合$A$中恰有两个整数，则实数$a$的取值范围是_____

设$m\in \mathbf{Z},m,m+1\in A,m-1,m+2\notin A,$设满足题设$a$的集合为$M$，
若$\exists a_0\in M,$使得
\begin{align*}
x^2-a_0x+2a_0+t & \equiv (x-m)(x-m-1) ,t\in (0,2]\\
x^2-a_0x+2a_0+t & \equiv x^2-(2m+1)x+m^2+m) \\
&\begin{cases}
a_0&=2m+1 \\
2a_0+t&=m^2+m\end{cases}\\
4m+2+t&=m^2+m\\
m^2-3m-2&=t\in (0,2],m\in \mathbf{Z}\\
m^2-3m-2&=1,2,m\in \mathbf{Z}\\
m&=-1,4\\
\end{align*}

此时，$a_0=-1,9$，临界最值吧（？）

于是$-1,0\in A,-2,1\notin A$或$4,5\in A,3,6\notin A,$以下具体计算略去，最后结果为
$$M=[-1,-\dfrac13)\cup(\dfrac{25}3,9]$$


PS：这题，入手难，很多时候导出的结果是不对的；间歇想了三五回，最后，在特殊情况下，先求出其整数根是关键，看来
PPS：对我，这题，真难，考场上第一次见，肯定在单位时间内搞不定

最后，终于看懂2楼realnumber的解法了是啥意思了

好吧，k说行间用得太多，去掉几个，哈哈

PPPS：现已修改部分叙述，解法不严密，后面回复，有考虑其顶点坐标轨迹，从数形两方面得到答案，详细过程不会了，最后期待此题更完善的办法

我终于知道为什么会自动变成了要shen核了……

13# kuing


哈哈，发帖前有个预览就好了……

14# isea

我也想，不知怎么弄……

14# isea

我也想，不知怎么弄……
kuing 发表于 2013-1-25 23:17

latex，排版太强了，我虽然只学到了一点点……

14# isea

我也想，不知怎么弄……
kuing 发表于 2013-1-25 23:17

或者说根本没种预览的功能，Discuz7设计者的原意只是想让我们用“去掉右上角‘源码’的勾”这样的法子来实现所谓的预览，这对一般的贴子是可行的，但是这里的特殊情况（MathJax 对代码的读取及显示公式的特点）就顾及不到了。

呵呵，扯太多了，还是回归正题吧。
PS、你上面那个行间公式用得太多了，有些不必

12楼的解法，存在$a_{0}$,$t$,怎么来的啊!

十二楼的解法似乎有点说不通啊！大家看看是不是有点问题？

12楼的解法，存在$a_{0}$,$t$,怎么来的啊!
pengcheng1130 发表于 2013-1-26 19:58

可先考虑一下这两个函数$f(x)=x^2-x,g(x)=x^2-x-2$，然后想像一下图象平移。