[几何] 三角形周长最大

已知椭圆方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0，且a,b为常数),左焦点为F_1,$直线方程：
$y=kx+m（k\ge0）,与椭圆交于A、B两点,分别固定k和m，△F_1 AB的周长什么时候最大？$
这是一个一般性问题，似乎不好算.

PS、什么时候$\color{green}{面积}$最大，仅从图像可能就做不出来了吧,估计真的有点复杂。

1# reny
固定了k、m,那么看作a,b的函数?a,b趋于无穷,周长也应该是无上限的.

2# realnumber
a,b当然是常数呗

他说“分别固定k和m”，意思可能是：固定 m 的时候 k 取什么是周长最大，固定 k 的时候 m 取什么是周长最大？

4# kuing
就是这个意思！

这样看来几何方法大概没机会了，用最基本的代数方法设直线联立用上韦达定理什么的估计也不太容易……我想潜水……

这样看来几何方法大概没机会了，用最基本的代数方法设直线联立用上韦达定理什么的估计也不太容易……我想潜水……
kuing 发表于 2013-1-22 16:55

k版不想做这种体力活的题目，只想用巧妙地解法，例如用性质，第一、第二定义、几何方法等等。
还有就是并不是所有题都是可解的，当可解时，并不一定答案都是漂亮的。
平时的所有题目都是可解的，当可解时，答案都是简单、好看的，并不是一个繁杂的结果。

退一步，把椭圆看成圆，想像一下动态过程，要么无解，要么表达起来也麻烦

退一步，把椭圆看成圆，想像一下动态过程，要么无解，要么表达起来也麻烦
isea 发表于 2013-1-22 21:31

你的意思也就和7楼说的差不离

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2013-1-23 08:42

10# hnsredfox_007

11# realnumber

10# hnsredfox_007

OMG! 有道理，原来那么简单。
这回老猫烧须了我

10# hnsredfox_007
漂亮！

其实如果你们画图的话，肯定比我先解出来，只是大家可能先入为主没动手罢了。

15# hnsredfox_007

的确没有画图, 也没怎么细想, 就潜水了，呵呵…

已知椭圆方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0，且a,b为常数),左焦点为F_1,$直线方程：
$y=kx+m（k\ge0）,与椭圆交于A、B两点,分别固定k和m，△F_1 AB的周长什么时候最大？$
这是一个一般性问题，似乎不 ...
reny 发表于 2013-1-22 16:03

首先敬佩火狐的功力深厚，没有人云亦云，
其次，还是有些遗憾，当$k=0$时，就无法取得等号，因为不构成三角形。
不过这已经无碍大局了，犹如宝玉里面的瑕疵算的了什么？
   再次，有的随便提的问题不可解，有的问题解出来不是漂亮的结果，应该是对的。
   只是恰巧本题运气太好了！似乎是给我的一个反例。
   现在想了想楼主的问题是怎么得来的？
估计是从一道习题中来的灵感？那么就是，我说的，平时的习题的答案都基本是完美的！
“平时的所有题目都是可解的，当可解时，答案都是简单、好看的，并不是一个繁杂的结果。 ”

17# yes94
此题的来历是2012年四川卷的一个填空题
的确也是，$k=0时，周长的范围是（2a,4a）$，取不到边界。

17# yes94
此题的来历是2012年四川卷的一个填空题
的确也是，$k=0时，周长的范围是（2a,4a）$，取不到边界。
reny 发表于 2013-1-23 15:52

楼主的提问很有价值，这种深入的思考是很宝贵的，
不是那种随随便便就提问的那种，

看到这个结果，我突然想起一事，就是

若（点）光线从一个焦点出发经椭圆反射后（第一次）回后这个焦点，
请问：光走的路线是最长的还是最短的？

哈哈