我也发一个水母的题目，以前汕头的二模题，最后一题：
已知正项数$\{a_n\}$的首项$a_1=m$，其中$0<m<1$，函数$f(x)=\frac{x}{1+2x}$
(1)若数列$\{a_n\}$满足$a_{n+1}=f(a_n)(n\ge1且n\in{N^*})$，证明$\{\frac{1}{a_n}\}$是等差数列，并求出数列$\{a_n\}$的通项公式；
(2)若数列$\{a_n\}$满足$a_{n+1}\le{f(a_n)}(n\ge1且n\in{N^*})$，数列$\{b_n\}$满足$b_n=\frac{a_n}{2n+1}$，试证明$b_1+b_2+\dots+b_n<\frac{1}{2}$.

突然发现，这题并不是你们所说的那种水母，而是元芳说的“这里的水很深”。

这个不等式其实是水母,
注意到$n\ge3$时,$\ln{n}\ge1$,那么左边就是大于$n-2$,那么就是要证明
\[n-2\ge\frac{(n-1)^4}{4n^3}\],只要证明$n\ge{n-1},4(n-2)\ge{n-1}$,都成立,再证一下,$n=2$,就ok.
而我要提的问题是 ...
realnumber 发表于 2013-1-22 09:38

这个怎么说，解法  qiáng  暴了，题目弱暴了

但这这真不是一般人一下能看出来的，这是多少经验的积累，看穿了多少类似的题

9# kuing
这里作个假设:一般的高中教师编的关于$\ln x$的不等式,就是利用常见的$\ln (1+x)\le x$,而这个一旦$x$离0比较远的话,比如数列,..
而"$\ln x$有关的"利用积分又不是高中能解决的.
realnumber 发表于 2013-1-28 08:31

受用！！



_______
审核通过，尽量注意mingan词，见谅……
kuing

761

前两问就不做了，不好玩，只玩玩第三问，估计下面的证法跟参考答案不一样。

由柯西不等式有
\[
n(\ln^21+\ln^22+\cdots +\ln^2n)\geqslant (\ln 1+\ln 2+\cdots +\ln n)^2,
\]
于是要证原不等式，只需 ...
kuing 发表于 2013-1-19 21:01

这种证法，体现了熟能生巧，也受教啊

特别是5楼，更是“短”“平”“快”

12楼一语道破天机

似乎又是类似一个795

来自不等式群福建-周坤泷(27####3) 2013-1-26 23:10:40
因为$\ln{n}
realnumber 发表于 2013-1-27 09:47

今天正好碰到这题，模拟高考卷的倒数第三数，第三问（层进），另一种综合法为：

题：若$n\ge2,n\in \mathbf{N^*}$，求证：$\dfrac {\ln 2}{2^2}+\dfrac{\ln 3}{3^2}+\cdots+\dfrac{\ln n}{n^2}<\dfrac{2n^2-n-1}{4(n+1)}$。


分析与证：

先需证$x>1,\ln x <x-1$，这里略去。于是$$\dfrac {\ln n^2}{n^2}<\dfrac {n^2-1}{n^2}=1-\dfrac 1{n^2} $$

进一步
\begin{align*}
2\sum_{k=2}^{n}\dfrac{\ln k}{k^2}&=\sum_{k=2}^{n}\dfrac{\ln k^2}{k^2}\\
&<\sum_{k=2}^{n}(1-\dfrac 1{k^2})\\
&=n-1-\sum_{k=2}^{n}\dfrac {1}{k^2}\\
&=n-1-(\dfrac1{2^2}+\dfrac1{3^2}+\cdots+\dfrac1{n^2})
\end{align*}
易得 $\dfrac1{n^2}>\dfrac1{n(n+1)}$ ，于是

\begin{align*}
2\sum_{k=2}^{n}\dfrac{\ln k}{k^2}&<n-1-(\dfrac1{2\cdot3}+\dfrac1{3\cdot4}+\cdots+\dfrac1{n\cdot(n+1)})\\
&=n-1-(\dfrac12-\dfrac13+\dfrac13-\dfrac14+\cdots+\dfrac1n-\dfrac1{n+1})\\
&=n-1-(\dfrac12-\dfrac1{n+1})\\
&=n-\dfrac32+\dfrac1{n+1}\\
&=\dfrac{2n^2-n-1}{2(n+1)}
\end{align*}

即\[\dfrac {\ln 2}{2^2}+\dfrac{\ln 3}{3^2}+\cdots+\dfrac{\ln n}{n^2}<\dfrac{2n^2-n-1}{4(n+1)}\]

3# yayaweha
\[\frac{1}{\ln2}+\frac{1}{\ln3}+\cdots+\frac{1}{\ln n}
realnumber 发表于 2013-1-27 13:11

广东，武汉等地喜欢出这样的
题：$n\in\mathbf{N}_+,n\geqslant 2,\dfrac{1}{\ln2}+\dfrac{1}{\ln3}+\cdots+\dfrac{1}{\ln n}<\dfrac{1-f(n+1)}{\ln2\cdot\ln n}.$

这道除了欣赏，一时偶无他法——

和21楼，先丢一起，回头看瞧瞧

21# 第一章
贴了很久，怎么没人鸟？只得自己打上来了
第（1）题自然是略；
第（2）题，放缩法，
解：$\frac{1}{a_{n+1}}\ge\frac{1+2a_n}{a_n}$
可得$\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}\ge2$
于是$\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n-1}}\ge2$，$\cdots$
$\frac{1}{a_2}-\frac{1}{a_1}\ge2$，
迭加，可得$\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_1}\ge2(n-1)$，
$a_n\le\frac{1}{2(n-1)+\frac{1}{m}}<\frac{1}{2n-1}$，
于是$b_n<\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$
$b_1+b_2+\cdots+b_n<\frac{1}{2}$.
放缩成裂项.

继续水母收集，2013年成都三诊最后一题数列不等式：
（3）求证：$\frac{3n^2+5n}{8n^2+24n+16}+\ln \sqrt{n+1}<1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n},n\in N^*.$

把证明打了一下，
证明:该不等式化为$\frac{n(3n+5)}{8(n+1)(n+2)}+\ln \sqrt{n+1}<1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n},$
只需证$\frac{n(3n+5)}{8(n+1)(n+2)}+\ln \sqrt{n+1}-[\frac{(n-1)(3n+2)}{8n(n+1)}+\ln \sqrt{n}]
<\frac{1}{n},$
即证$\ln \frac{n+1}{n}<\frac{n+4}{n(n+2)}$
即$\ln (1+\frac{1}{n})<\frac{1}{n}+\frac{2}{n(n+2)}$
上式明显成立，故原题得证.

这道算水母吗？
设正实数$a_1,a_2.a_3\cdots ,a_n$满足$\sum_{k=1}^n a_k=1$
求证：$$\sum_{k=1}^n ln(1+ \frac{1}{a_k^2})>\frac{2n^2}{n+2}$$

这道算水母吗？
设正实数$a_1,a_2.a_3\cdots ,a_n$满足$\sum_{k=1}^n a_k=1$
求证：$$\sum_{k=1}^n ln(1+ \frac{1}{a_k^2})>\frac{2n^2}{n+2}$$
yayaweha 发表于 2013-5-17 17:42

这个我的想法是，当 $n\geqslant2$ 时
\begin{align*}
\sum_{k=1}^n{\ln \left( 1+\frac1{a_k^2} \right)}&>\sum_{k=1}^n{\ln \frac1{a_k^2}} \\
& =-2\ln (a_1a_2\cdots a_n) \\
& \geqslant -2\ln \left( \frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}n \right)^n \\
& =2n\ln n \\
& >2n \\
& >\frac{2n^2}{n+2}.
\end{align*}
很随意地放了四次缩，chi度比较大，的确比较弱的不等式，应该有更简单的办法，不知你的想法如何？

31# kuing
木系n>=3么...
kk牛笔！！！
俺先判断凹凸性，再用琴森...

32# 零定义

噢对，是应该 $n\geqslant3$ 才有 $\ln n>1$

33# kuing
俺大菜鸟，还是喜欢琴森多点，木用缩来缩去的...

34# 零定义

其实先去掉 1 是很自然的，因为 $1/a_k^2$ 比 1 大得多（$n$ 越大差距越大），整个式子来说它是主部，那个 1 微不足道。而去掉之后合起来就简洁多了，后面也顺利成章。

35# kuing
嗯~看起来确实，但关键是俺木这习惯...
其实，对这水题，俺还是习惯琴森...

求导容易得到$lnx >2\frac{x-1}{x+1}$
令$x=1+\frac{1}{a_k^2}$有$$\sum_{k=1}^n ln(1+ \frac{1}{a_k^2})>\sum_{k=1}^n \frac{2}{2a_k^2+1}$$
由CS$$\sum_{k=1}^n \frac{2}{2a_k^2+1}>\frac{2n^2}{n+2\sum _{k=1}^n a_k^2}$$
$\sum _{k=1}^n a_k^2<1$
$$\sum_{k=1}^n \frac{2}{2a_k^2+1}>\frac{2n^2}{n+2\sum _{k=1}^n a_k^2}>\frac{2n^2}{n+2}$$

37# yayaweha


这个应该没问题吧？

水饺前把俺的愚见也贴贴...

(53.41 KB)

2013-5-19 01:18

38# yayaweha

没问题
不过由于第一步，看上去似乎不太水母的样子……