[不等式] 来自人教群的一道大题第三问对数平方和不等式（兼水母收集）

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2013-1-19 21:01

前两问就不做了，不好玩，只玩玩第三问，估计下面的证法跟参考答案不一样。

由柯西不等式有
\[
n(\ln^21+\ln^22+\cdots +\ln^2n)\geqslant (\ln 1+\ln 2+\cdots +\ln n)^2,
\]
于是要证原不等式，只需证
\[
\ln 1+\ln 2+\cdots +\ln n>\frac{(n-1)^2}{2n},
\]即\[
\ln 1+\ln n+\ln 2+\ln (n-1)+\ln 3+\ln (n-2)+\cdots +\ln n+\ln 1>\frac{(n-1)^2}n,
\]即\[
\ln n+\ln (2(n-1))+\ln (3(n-2))+\cdots +\ln n>\frac{(n-1)^2}n,
\]
注意到对于任意 $1\leqslant k\leqslant n$ 都有 $k(n-k+1)\geqslant n$，由此得到
\[
\ln n+\ln (2(n-1))+\ln (3(n-2))+\cdots +\ln n\geqslant n\ln n,
\]
因此，只要证
\[
\ln n>\left( \frac{n-1}n \right)^2,
\]
令 $n=1/t$，由 $n\geqslant 2$ 知 $0<t<1$，由上式等价于
\[
g(t)=(1-t)^2+\ln t<0,
\]
求导得
\[
g'(t)=-2(1-t)+\frac1t=t+t+\frac1t-2\geqslant t>0,
\]
从而 $g(t)<g(1)=0$，所以原不等式得证。

强。。。。学习。。。。学习无数次，学不会

KK来看看我当年问过的一题吧，不知道你有没有新颖的方法

$$\frac{1}{\ln2}+\frac{1}{\ln3}+\cdots+\frac{1}{\ln n}<\frac{1-f(n+1)}{\ln2\cdot\ln n}.$$
其中$n\in\mathbf{N}^+,n\geqslant 2$，$f(x)=x-x\ln x$

2# yuzi
总看得会噻，

这个不等式其实是水母,
注意到$n\ge3$时,$\ln{n}\ge1$,那么左边就是大于$n-2$,那么就是要证明
\[n-2\ge\frac{(n-1)^4}{4n^3}\],只要证明$n\ge{n-1},4(n-2)\ge{n-1}$,都成立,再证一下,$n=2$,就ok.
而我要提的问题是左边有更好的近似估计吗?可以假定$n\ge{n_0}$什么的.

5# realnumber

OMG，水母，果然够形象。

似乎又是类似一个

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2013-1-27 09:47

来自不等式群福建-周坤泷(27####3) 2013-1-26 23:10:40
因为$\ln{n}<n-1$,只需要证明\[\frac{1}{2^2}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{4^2}+...+\frac{n-1}{n^2}<\frac{2n^2-n-1}{4(n+1)}=\frac{n^2}{2(n+1)}-\frac{1}{4}\]
\[\frac{2}{3^2}+\frac{3}{4^2}+...+\frac{n-1}{n^2}<\frac{n^2}{2(n+1)}\]
\[\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}<\frac{n}{2(n+1)}\]
\[\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}<\frac{1}{2}-\frac{1}{n}<\frac{n}{2(n+1)}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2(n+1)}\]

3# yayaweha
\[\frac{1}{\ln2}+\frac{1}{\ln3}+\cdots+\frac{1}{\ln n}<\frac{1-f(n+1)}{\ln2\cdot\ln n}.\]
\[\frac{\ln2}{\ln2}+\frac{\ln2}{\ln3}+\cdots+\frac{\ln2}{\ln n}<1+1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2}=\frac{n+1}{2}\]
如此只需要证明\[\frac{n+1}{2}\ln{n}\le 1-f(n+1)=(n+1)\ln{(n+1)}-n\]
等价于\[n\le{(n+1)\ln{\frac{n+1}{\sqrt{n}}}}\]
而\[\ln{\frac{n+1}{\sqrt{n}}}>1\]--突然觉得这个不算水母,似乎谁也这么证明过,kuing?

8# realnumber

这样看也很水啊

看来以后遇数列不等式还是先从最水的方向放缩一下再说……

什么是水母

10# yayaweha
百度的
幽浮水母(Moon Jellyfish)
一般市面上常见半透明的水母俗称 学名：Aurelia auriea，中名：海月水母。分布於世界各大洋温 水域到暖水域，为腔肠动物。中央是它的胃；伞缘四周的细丝是触手， 胃下4条彩带般的口腕为捕食工具，以浮游生物为食， 身体是胶质，含近98%的水份。
意思是题目设计得不够好.

9# kuing
这里作个假设:一般的高中教师编的关于$\ln x$的不等式,就是利用常见的$\ln (1+x)\le x$,而这个一旦$x$离0比较远的话,比如数列,..
而"$\ln x$有关的"利用积分又不是高中能解决的.

筱弦月(53####48)  11:34:08
$(\ln 2-\ln 1)^2+(\ln 3-\ln 2)^2+……+(\ln(n+1)-\ln(n))^2<1$
利用$\ln(n+1)-\ln(n)=\ln(1+\frac{1}{n})\le{\frac{1}{n}}$
再利用这个$\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

http://kkkkuingggg.5d6d.net/thread-1200-1-1.html
把水母也放一起
求证:$\frac{1}{2^2}\ln 2^2+\frac{1}{3^2}\ln 3^2+\frac{1}{4^2}\ln 4^2+\cdots+\frac{1}{(n+1)^2}\ln (n+1)^2>\frac{n}{2(n+1)(n+2)}$
证明:当$n\ge2$时,有$\ln (n+1)>1$
那么本题,$n=1$单独验证.
当$n\ge2$时,$\frac{1}{2^2}\ln 2^2+\frac{1}{3^2}\ln 3^2+\frac{1}{4^2}\ln 4^2+\cdots+\frac{1}{(n+1)^2}\ln (n+1)^2>\frac{1}{4}+\frac{2}{3^2}+\frac{2}{4^2}+\cdots+\frac{2}{(n+1)^2}=\frac{1}{4}+\frac{2}{3}-\frac{2}{n+2}>\frac{1}{2(n+2)}>\frac{n}{2(n+1)(n+2)}$

直接证明$$\frac{1}{2}\ln 2>\frac{n}{2(n+1)(n+2)}$$就做完了

15# yayaweha
哦,那不是水母中的水母了~~

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2013-3-27 12:02

又一弱弱的水题,可以保留前2项,放缩,后面都用$\ln n<n$.
如果知道$e^x>x^e,x>0$,本题更容易处理,变为求证:$\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+\ldots +\frac{1}{n^3}<\frac{1}{2}$

改了一下标题

似乎又是类似一个795
来自不等式群福建-周坤泷(27####3) 2013-1-26 23:10:40
因为$\ln{n}
realnumber 发表于 2013-1-27 09:47

这个水母似乎不够好吧？