R上f(f(f(x)))=x,求f(x) - 初等数学讨论 - 悠闲数学娱乐论坛

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kuing

管理员

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21^#

发表于 2013-1-12 21:44

话说，这个“$f(x)\ne x$”的条件到底是不恒等还是恒不等？

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
现状：冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做！（粤语）

realnumber

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22^#

发表于 2013-1-12 22:23

猜是不恒等.看来还是说明下好,省得读题目的人纠结.

kuing

管理员

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23^#

发表于 2013-1-12 22:33

不恒等为何设 $f(a)=b\ne a,f(b)=c\ne b,f(c)=a\ne c$？

PS、不等号代码 \ne

yes94

论坛元老

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24^#

发表于 2013-1-12 23:33

23# kuing
y=x作为一个函数整体，$f(x)\ne x$，指的是存在t，使$f(t)\ne t$，即允许f（x）有不动点？
第一次复制代码，随便玩一下，

realnumber

论坛元老

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25^#

发表于 2013-1-13 09:11

@yes94,检查下20楼证明有没问题?总觉得是不是太简单了,有没什么没考虑到?.

realnumber

论坛元老

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26^#

发表于 2013-1-13 15:38

23# kuing
好吧,我承认罗嗦了,我去修改就是.

kuing

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27^#

发表于 2013-1-13 16:21

26# realnumber

其实我不是说啰嗦，而是为何要三个都不等？

realnumber

论坛元老

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28^#

发表于 2013-1-14 08:28

果然,还是应该写一个啊,晕啊.

pxchg1200

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29^#

发表于 2013-1-14 08:48

27# kuing

其实如果连续的话，只有$f(x)=x$
首先，我们可以证明$f(x)$是一个一一映射。证明很简单，大家自己思考下。
然后，连续的一一映射一定具备单调性的，所以，我们可以假设$f(x)$单调，这是发现$f(x)$只有可能单调递增，理由就是3层复合。

Let's solution say the method!

realnumber

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30^#

发表于 2013-1-14 08:52

29# pxchg1200
三层复合会导致增,不明白;20楼证明对吗?可能同你的意思.

pxchg1200

金牌会员

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31^#

发表于 2013-1-14 09:00

30# realnumber

你想想如果$f(x)$递减，那么$f(f(x))$就会递增，$f(f(f(x)))$会递减，这显然是不可能的

Let's solution say the method!

realnumber

论坛元老

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32^#

发表于 2013-1-14 09:08

明白了就是标题呢

kuing

管理员

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33^#

发表于 2013-1-14 10:09

噢，原来一定是一一映射, 那周期自然也不可能有了。

再搞搞别的要求?

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