[函数] R上f(f(f(x)))=x,求f(x)

群里看到一题目:
是否存在R上函数f(x),使得f(x)≠x,且f(f(f(x)))=x,?
解答:f(x)=x,x≠1,2,3
然后f(1)=2,f(2)=3,f(3)=1;这样即使n次复合也有例子了
然后又加连续或又要周期3,...想不出了.

先记一个集合 $\displaystyle M=\left\{\frac x3 \biggm| x\in\mbb Z\right\}$，将 $f(x)$ 定义为
\[
f(x)=\begin{cases}
x-\frac23, & x\in\mbb Z,\\
x+\frac13, & x\in M \setminus \mbb Z,\\
x, & x\in\mbb R \setminus M.
\end{cases}
\]
行不行？

注：$A \setminus B$ 表示集合差，即：$A \setminus B = \{x|x\in A~\text{且}~x\notin B\}$。

先记一个集合 $\displaystyle M=\left\{\frac x3 \biggm| x\in\mbb Z\right\}$，将 $f(x)$ 定义为
\[
f(x)=\begin{cases}
x-\frac23, & x\in\mbb Z,\\
x+\frac13, & x\in M \setminus \mbb Z,\\
x, & x\in\mbb R \setminus M.
\end{cases}
\]kuing 发表于 2013-1-6 18:43

（1）若 $a\in\mbb Z$，则
\[f(a)=a-\frac23\in M \setminus \mbb Z,\]
故
\[f(f(a))=f\left(a-\frac23\right)=a-\frac13\in M \setminus \mbb Z,\]
所以
\[f(f(f(a)))=f\left(a-\frac13\right)=a;\]

（2）若 $a\in M \setminus \mbb Z$，再记
\[M_1=\left\{\frac13+k\biggm| k\in\mbb Z\right\}, \quad M_2=\left\{\frac23+k\biggm| k\in\mbb Z\right\},\]
注意到 $M \setminus \mbb Z = M_1 \cup M_2$ 且 $M_1 \cap M_2=\varnothing$，故再分两小类：

（2-1）若 $a\in M_1$，则
\[f(a)=a+\frac13\in M_2,\]
故
\[f(f(a))=f\left(a+\frac13\right)=a+\frac23\in \mbb Z,\]
所以
\[f(f(f(a)))=f\left(a+\frac23\right)=a;\]

（2-2）若 $a\in M_2$，则
\[f(a)=a+\frac13\in \mbb Z,\]
故
\[f(f(a))=f\left(a+\frac13\right)=a-\frac13\in M_1,\]
所以
\[f(f(f(a)))=f\left(a-\frac13\right)=a;\]

（3）若 $a\in\mbb R \setminus M$，则显然 $f(f(f(a)))=a$。

综上所述，该 $f(x)$ 对任意 $x\in\mbb R$ 都有 $f(f(f(x)))=x$。

n 次迭代应该也可以类似构造出来。

有些看晕了,又对符号P/M不熟悉,意思猜得出,
分段函数第一条和第二条有没重复定义.-----我明天继续看,今天恐怕晕了

5# realnumber

那个是集合差，$A \setminus B = \{x|x\in A~\text{且}~x\notin B\}$，又或者看成补集 $\complement_AB$

其实我才看到你后面说的还要加连续和周期……那样的话我这个也不连续也没周期，f(x)-x 倒是有周期。

还是不必再看3#了，我有空再研究过……

题目条件写完没有啊？
是否存在R上函数f(x),使得f(x)≠x,且f(f(f(x)))=x,?

令f(x)=1-1/x，满足f(x)≠x,且f(f(f(x)))=x。

"R"上的意思是定义域为R,还是定义域是R的子集?
题目我也是群里看来的,不清楚是否还有别的条件,可以推广,任意删减或添加,

哦，没注意定义域

是否存在R上函数f(x),使得f(x)≠x,且f(f(f(x)))=x,?

令f（x）为：当x不为0,1,2时，f（x）=1-1/x，；并且定义f(0)=1,f(1)=2,f(2)=0,
可以验证f(f(f(x)))=x（x不为0,1,2）；
f(f(f(0)))=0，f(f(f(1)))=1，f(f(f(2)))=2，
综上所述，在R上f(f(f(x)))=x。
不知对否？最近做题老是有失误

10# yes94
这个还f(x)恒不等于x，更有意思

不知道real觉得对不？找到原题没？

dui对的,就是还是没连续

13# realnumber
还有连续的条件啊？

应该说是 kai 放 xing 题目，尽可能找出满足等式的而且有其他“特色”的函数出来。

完全满足条件,又连续的估计没有,我下星期想想,周六教工系统有围棋比赛.

估计是那个发言的学生发挥想象力自己加的,"连续,周期"什么的;不过挺好,正是这些刺激了想象力.

完全满足条件,又连续的估计没有,我下星期想想,周六教工系统有围棋比赛.
realnumber 发表于 2013-1-11 08:14

安逸哦，还有围棋比赛，

恩,否则也不会在论坛混了.

看来数学和围棋不可兼得,做题目兴奋,导致睡得少,围棋大输.
是否存在R上连续函数f(x),使得$f(x)≠x$,且$f(f(f(x)))=x$.


引理:$f(x)$是R连续函数,那么对于任意$m,f(a)<m<f(b)$,总存在$n,a<n<b$,有$m=f(n)$($a>{b}$也有类似结论).
高中阶段连续定义不便叙述,就按图象不加证明直接得到,其实就是介值定理.

(1.83 KB)

2013-1-12 20:32

证明:用反证法，假设存在，记$f(a)=b\ne{a},f(b)=c,f(c)=a$,(若$b=c$也容易得到矛盾)不妨假设$a>{b}>{c}$,如图，则存在$m$
$c<m<b$,有$f(m)=f(a)=b$,进一步得到$f(f(f(m)))=f(f(f(a)))$,即$m=a$,那么$c<m<b$与$a>{b}>{c}$矛盾.