[不等式] 求积分证明

求积分证明方法

用积分证 $1+1/2+1/3+\cdots+1/n>\ln(n+1)$ 然后再证 $\ln(n+1)\geqslant$ 右边，算不算“积分证明方法”？

或者这样吧
当 $n=1$, $2$ 自行验证，当 $n\geqslant3$，则由
\[
\ln \frac{(2e)^n}{n!}=n\ln (2e)-\ln (n!)=n(\ln 2+1)-\sum_{k=1}^n{\ln k},
\]
可知原不等式等价于
\[
\sum_{k=1}^n{\left( \frac2k+\ln k \right)}\geqslant n(\ln 2+1),
\]
易证 $f(x)=2/x+\ln x$ 在 $[2,+\infty )$ 上递增，故
\begin{align*}
\sum_{k=1}^n{\left( \frac2k+\ln k \right)}&=3+\ln 2+\sum_{k=3}^n{f(k)} \\
& >3+\ln 2+\int_2^n{f(x)\rmd x} \\
& =3+\ln 2+(n+2)\ln n-n-4\ln 2+2 \\
& =5-3\ln 2-n+(n+2)\ln n,
\end{align*}
从而只需证
\[
5-3\ln 2-n+(n+2)\ln n\geqslant n(\ln 2+1),
\]
即只需证当 $n\geqslant 3$ 时恒有
\[
g(n)=\ln n-\frac{n(\ln 2+2)-5+3\ln 2}{n+2}\geqslant 0,
\]
求导得
\[
g'(n)=\frac{n^2+(\ln 2-5)n+4}{n(n+2)^2}\geqslant \frac{9+3(\ln 2-5)+4}{n(n+2)^2}=\frac{\ln (8/e^2)}{n(n+2)^2}>0,
\]
从而
\[
g(n)\geqslant g(3)=\ln 3-\frac{6\ln 2+1}5=\frac15\ln \frac{243}{64e}>0,
\]
得证。

不用积分方法更简单哦

4# hnsredfox_007

你想说数归？

易证$f(x)=\frac{2}{x}+\ln x$在$[1,2]$上单调递减，在$[2,+\infty)$上单调递增，从而$f(n)\geqslant f(2)=1+\ln 2=\ln (2\rm e)$,然后有$$\sum_{i=1}^n f(i)\geqslant n\ln(2\rm e)$$，但是等号不能成立哦

5# kuing


不是

oh，原来如此……

我就是六楼的做法，想寻求积分证法

既然如此何必积分? 不如加强一下再说