[函数] 貌似不是初中生能理解的问题

北京王**(3762***34) 20:46:56
各位老师，今天一个初中孩子问了一道题我觉得比较有意思，我不知道有哪位老师研究过没有？
在正数域中，问是否存在这样一个正数$m$，对于所有的正数$x$都有$m^x≥x^m$?如果存在请求出符合条件的m的值；如果不存在请证明。
北京王**(3762***34) 20:57:07
此题已有答案，但是没有简要的中学生能看明白的解法。
几何画板探索了下，似乎是m=e就符合.然后是苯办法求了4次导数
$y''''=e^x-e(e-1)(e-2)(e-3)x^{e-4}\ge 0$,说明y'''是增函数
$y'''=e^x-e(e-1)(e-2)x^{e-3}$，y'''符号从负到正，说明y''先减后增
$y''=e^x-e(e-1)x^{e-2}$，y''符号从负到正，说明y'先减后增
$y'=e^x-ex^{e-1}$，y'符号从0，到负再到正，说明y'先减后增
$y=e^x-x^e,x\ge 1$，且x=e处，导数为0，是唯一的极小值，也是最小值，完.---哎呀，这个证明.

初中就算了吧……反正高中就会变得很简单，取个对数，求一次导就行了

哦，我再来一次，按2楼提示
$f(x)=x-e\ln{x}$,那么$f′(x)=1-\frac{e}{x}$,果然简单，
汗1楼的证明

3# realnumber

导数符号不要用全角的（即中文输入法状态下的）一撇来打，直接在纯英文状态下按回车键左边的那个单引号 ' 就行了