悠闲数学娱乐论坛 » 初等数学讨论 » 关于线段比例的几何题，提供一种纯几何法供参考

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发表于 2012-12-30 19:49

[几何] 关于线段比例的几何题，提供一种纯几何法供参考

本帖最后由 isea 于 2012-12-31 23:22 编辑

想了好久，纯几何，总觉得差那么一步。

题目：已知A，B为两条定直线AX，BY上的定点，P和R为射线AX上两点，Q和S为射线BY上的两点， $\dfrac{AP}{BQ}=\dfrac{AR}{BS}$为定比，M，N，T分别为线段AB，PQ，RS上的点， $\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{PN}{NQ}=\dfrac{RT}{TS}$为另一定比，试问M，N，T三点的位置关系如何？证明你的结论．

math.png (14.08 KB)

本主题由 kuing 于 2013-1-19 15:04 分类

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发表于 2012-12-30 19:56

我想用复数的说……

纯平几……玩面积？

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发表于 2012-12-30 21:00

2# kuing

这个题应该是出自一本叫高中数学竞赛标准教材中的习题，网上一搜，什么第八章，其实就这本书。

这题一眼望过去，复数或者向量都比较基础，也“受”用。

94年就有这题了吧，广思集益一下……点共线，我想也许有办法吧。

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4^#

发表于 2012-12-30 21:02

感觉面积法应该也有机，不过没想出来……
平几我小弱，先潜水……

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发表于 2012-12-31 23:09

本帖最后由 isea 于 2012-12-31 23:26 编辑

感觉面积法应该也有机，不过没想出来……
平几我小弱，先潜水……
kuing 发表于 2012-12-30 21:02

原是在任取一点为原点，用向量可以证出；
后来，又换了一种向量证明，先给个过程。

(11.38 KB)

2012-12-31 23:09

参考这种向量法，想想其几何意义，似乎搞定了，如图——

(26.74 KB)

2012-12-31 23:10

图中，新产生的线，平行而来。
先证两对（现看着像的）“8字型”的三角形分别相似，出C，N，D共线，E，T，F共线。
进而（由红色线段上比值知）CD与EF平行，而两分点N，T的分比（分蓝色线段）是相等的。
于是在三角形MEF中证得M、N、T共线。

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发表于 2012-12-31 23:16

有点立体感

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发表于 2012-12-31 23:18

以复数或向量来看，在空间的确是成立的。

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发表于 2013-1-1 15:32

用速度神马的行不行

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