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　== 证明 == 　　===[[数学归纳法]]=== 　　当<math>n=1</math>；；，　　：<math> (a+b)^1 = \sum_{k=0}^1 { 1 \choose k } a^{1-k}b^k = { 1 \choose 0 }a^1b^0+{ 1 \choose 1 }a^0b^1 = a+b</math> 　　假设二项展开式在 <math>n=m</math> 时成立。若<math>n=m+1</math>；；，　　：<math> (a+b)^{m+1}</math> <math> =</math> <math> a(a+b)^m + b(a+b)^m</math> 　　：：<math> =</math> <math> a \sum_{k=0}^m { m \choose k } a^{m-k} b^k + b \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^j</math> 　　：：<math> =</math> <math> \sum_{k=0}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^{j+1}</math> 将<math>a</math>；；、<math>b</math>；；乘入　　：：<math> =</math> <math> a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^{j+1}</math> 取出<math>k=0</math>；；的项　　：：<math> =</math> <math> a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{k=1}^{m+1} { m \choose k-1 }a^{m-k+1}b^{k}</math> 设<math> j = k-1</math> 　　：：<math> =</math> <math> a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1}b^k + \sum_{k=1}^{m} { m \choose k-1 }a^{m+1-k}b^{k} + b^{m+1}</math> 取出<math>k=m+1</math>；；项　　：：<math> =</math> <math> a^{m+1} + b^{m+1} + \sum_{k=1}^m \left[ { m \choose k } + { m \choose k-1 } \right] a^{m+1-k}b^k</math> 两者加起　　：：<math> =</math> <math> a^{m+1} + b^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m+1 \choose k } a^{m+1-k}b^k</math> 套用[[帕斯卡法则]] 　　：：<math> =</math> <math> \sum_{k=0}^{m+1} { m+1 \choose k } a^{m+1-k}b^k</math> 　　===一般形式的证明=== 　　通常二项式定理可以直接使用[[泰勒公式]]进行证明. 下面的方法不使用泰勒公式　　<blockquote> 　　令　　<math>f(x)=（1+x)^\alpha</math>,<math>g(x)=\sum_{k=0}^{\infty}{a \choose k}x^k</math>. 注意只有当 <math>|x|<1</math>；；时上述两个函数才收敛　　* 首先证明 <math>f(x)</math>；；收敛于1. 这里省略　　* 之后，易得<math>f(x)</math>；；满足微分方程：<math>；（1+x)y'(x) = \alpha y(x)</math>. 用求导的一般方法就能得到这个结论，这里省略　　* 再证明 <math>g(x)</math>；；亦满足上述微分方程：　　<blockquote> 　　<math> 　　\begin{align} 　　g'(x) & = \sum_{k=0}^{\infty}{a\choose k}k x^{k-1}\\ 　　& = \sum_{k=-1}^{\infty}{a\choose (k+1）}(k+1）x^{k} \\ 　　& = {a \choose 0} 0 x^{-1} + \sum_{k=0}^{\infty}{a\choose {k+1}}(k+1） x^{k} \\ 　　& = \sum_{k=0}^{\infty}{a\choose {k+1}}(k+1） x^{k} \\ 　　& = \sum_{k=0}^{\infty}{a \choose k}(a-k) x^k \\ 　　\end{align} 　　</math> 　　<math> 　　\begin{align} 　　{a \choose {k+1} }(k+1） & = \frac{(a)(a-1）\cdots(a - k + 1）（a - k)}{(k+1）！}(k+1） \\ 　　& = \frac{(a)(a-1）\cdots(a - k + 1）（a - k)}{k!} \\ 　　& = {a \choose k}(a-k) 　　\end{align} 　　</math> 　　</blockquote> 　　于是 <math>；（1+x)g'(x) = g'(x) + \sum_{k=0}^{\infty}{a \choose k}kx^k = ag(x)</math> 　　</blockquote> 　　* 令<math>H(x) = \frac{g(x)}{f(x)}</math>；；，由于<math>g(x)</math>；；和<math>f(x)</math>；；满足同样的微分方程，<math>H'(x) = 0</math>；；，于是<math>H(x)</math>；；是一个常数，即<math>f(x) = ag(x)</math> 　　* 代入<math>x = 0</math>；；的情况，证明<math>a = 1</math>