求角C的范围

$在三角形ABC中，已知ab<\lambda c^2(\lambda \in R^+),\lambda 为常数，求角C的取值范围.$

想象了下应该能取遍 $(0,\pi)$，想一下怎么表达……

如图

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2012-12-29 17:14

作线段 $AB=c$，过 $A$ 作半径为 $r$ 的圆，其中 $r$ 满足
\[r<\min \left\{ c,\frac{-c+c\sqrt{1+4\lambda}}2 \right\},\]
那么该圆与线段 $AB$ 必有交点，且交点在线段 $AB$ 内部。
在圆上任取一点 $C$，则
\[CA\cdot CB\leqslant r\cdot (r+c)<\min \left\{ c,\frac{-c+c\sqrt{1+4\lambda }}2 \right\}\cdot \left( \min \left\{ c,\frac{-c+c\sqrt{1+4\lambda }}2 \right\}+c \right),\]
（1）若 $\frac{-c+c\sqrt{1+4\lambda }}2>c$，可以解出 $\lambda >2$，则此时有
\[\min \left\{ c,\frac{-c+c\sqrt{1+4\lambda }}2 \right\}\cdot \left( \min \left\{ c,\frac{-c+c\sqrt{1+4\lambda }}2 \right\}+c \right)=c\cdot 2c<\lambda c^2;\]
（2）若 $\frac{-c+c\sqrt{1+4\lambda }}2\leqslant c$，则此时有
\begin{align*}
& \min \left\{ c,\frac{-c+c\sqrt{1+4\lambda }}2 \right\}\cdot \left( \min \left\{ c,\frac{-c+c\sqrt{1+4\lambda }}2 \right\}+c \right) \\
={}&\frac{-c+c\sqrt{1+4\lambda }}2\cdot \left( \frac{-c+c\sqrt{1+4\lambda }}2+c \right) \\
={}&\lambda c^2.
\end{align*}

综合（1）（2）可知，无论 $\lambda $ 取任何正数，总有
\[CA\cdot CB < \lambda c^2,\]
所以，只要 $C$ 不与 $A$, $B$ 共线，那么 $\triangle ABC$ 都满足条件。从而当 $C$ 取遍圆上与 $A$, $B$ 不共线的所有点时，$\angle C$ 取遍 $(0,\pi)$。

$总是感觉角C的范围应该与\lambda有关。当\lambda=1时，若角C等于90度，则c^2=a^2+b^2>ab,矛盾$

$总是感觉角C的范围应该与\lambda有关。当\lambda=1时，若角C等于90度，则c^2=a^2+b^2>ab,矛盾$
老人与海 发表于 2012-12-29 18:53

矛盾？这不恒成立么？

5# kuing
我说的矛盾是指与已知条件$ab<c^2矛盾。$

5# kuing
我说的矛盾是指与已知条件$ab<c^2矛盾。$
老人与海 发表于 2012-12-29 20:37

$a^2+b^2=c^2$ 与 $ab<c^2$ 矛盾？

这题目为什么我看上去觉得这么奇怪，怪得都不像是数学题呢

8# isea

呃，难道我理解错题意？

$不妨我们就假设\lambda=1,对于ab>c^2,容易求出C\in(0,\frac \pi 3),那对于ab<c^2，角C的范围是多少？$

10# reny

呃，你也看不懂3#……？

11# kuing
看懂了过程，只是觉得有点怪，因为当$\lambda=1,对于ab>c^2,$容易求出$C\in(0,\frac \pi 3),而对于ab<c^2$，按你的结果就是$C\in(0, \pi).$  此题其实是个存在性问题，就是求出所有符合$ab<\lambda c^2的以a,b,c为边的三角形的角C的$取值范围

11# kuing
看懂了过程，只是觉得有点怪，因为当$\lambda=1,对于ab>c^2,$容易求出$C\in(0,\frac \pi 3),而对于ab<c^2$，按你的结果就是$C\in(0, \pi).$  ...
reny 发表于 2012-12-30 00:31

这并不矛盾的，条件反过来不代表求出的范围不能相容。
比如说 $a=2$, $b=\sqrt3$, $c=1$ 满足 $ab>c^2$ 且 $C=30^\circ$；
而 $a=\dfrac{\sqrt3+\sqrt{15}}4$, $b=\dfrac12$, $c=1$ 满足 $ab<c^2$ 且也有 $C=30^\circ$。

8# isea

呃，难道我理解错题意？
kuing 发表于 2012-12-29 22:16

我想表达的主要意思是我看不懂这样的题。

k 你应该没偏离题意