[不等式] 来自pep的简单根式不等式求最值

原贴：http://bbs.pep.com.cn/thread-1913050-1-1.html

Let $x,y,z\in(0,1)$, if
\[\sqrt{\frac{1-x}{yz}}+\sqrt{\frac{1-y}{xz}}+\sqrt{\frac{1-z}{xy}}=2,\]
find the maximum of $xyz$.

其实我年多前就解过，马上翻翻记录贴上来


设 $xyz=t$，则由条件得
\[
2\sqrt t = \sum {\sqrt {x(1 - x)} } = \sqrt 3 \sum {\sqrt {\frac{x}
{3}(1 - x)} } \leqslant \sqrt 3 \sum {\frac{{\frac{x}
{3} + 1 - x}}
{2}} = \sqrt 3 \left( {\frac{3}
{2} - \frac{1}
{3}\sum x } \right) \leqslant \sqrt 3 \left( {\frac{3}
{2} - \sqrt[3]{t}} \right),
\]
由此得到
\[
4t \leqslant 3\left( {\frac{3}
{2} - \sqrt[3]{t}} \right)^2,
\]
再令 $t=u^3$，代入得
\[
4u^3 \leqslant 3\left( {\frac{3}
{2} - u} \right)^2 \iff \frac{1}
{4}(4u - 3)(4u^2 + 9) \leqslant 0 \iff u\leqslant\frac34,
\]
所以
\[xyz=t=u^3\leqslant\frac{27}{64},\]
当 $x=y=z=\dfrac34$ 时取等号，故 $xyz$ 的最大值就是 $\dfrac{27}{64}$。

网页看不清哎，

2# fanwf


嗯？公式显示不出么？

2# fanwf


ok了，搞定了，THANKS kk,

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