[不等式] a+b+c+d+e=1

已知$a+b+c+d+e=1,a，b，c，d，e$全为正数，求$abc+abd+abe+acd+ace+ade+bcd+bce+cde+bde$的取值范围

为方便书写，将五个元记为 $a_i$, $i=1$, $2$, $3$, $4$, $5$，由马克劳林不等式，有
\[\sqrt[3]{\frac{\sum_{1\leqslant i_1<\cdots<i_3\leqslant5}a_{i_1}a_{i_2}a_{i_3}}{C_5^3}}\leqslant \frac{\sum_{i=1}^5a_i}{C_5^1},\]
即得
\[\sum_{1\leqslant i_1<\cdots<i_3\leqslant5}a_{i_1}a_{i_2}a_{i_3}\leqslant \frac2{25}.\]

另一方面，当 $a$, $b$, $c$, $d\to0$, $e\to1$ 时 $\sum_{1\leqslant i_1<\cdots<i_3\leqslant5}a_{i_1}a_{i_2}a_{i_3}\to0$，所以所求的取值范围是 $(0,2/25]$。

哦，